FUNCIONES CUADRÁTICAS. PARÁBOLAS

ficha del profesor

ENUNCIADO

 

Hemos visto en la práctica anterior que las gráficas de las funciones con fórmulas más sencillas (constantes, lineales y afines) eran rectas. Ahora estudiaremos las gráficas de las siguientes funciones en cuanto a la complejidad de su expresión algebraica: las funciones cuadráticas: f(x) = ax2 + bx + c. Su representación gráfica no puede ser una recta; es una curva llamada parábola. Se trata de una curva muy común y bien conocida. De hecho estás rodeado de fragmentos de parábolas, aunque no te hayas dado cuenta. No tienes más que mirar las antenas parabólicas de los tejados y balcones o seguir la trayectoria de un balón cuando lo golpeas.

 

 

Recuerda que el trazado manual de una parábola conlleva cierto trabajo. Si intentas dibujar la gráfica a partir de una tabla de valores elegidos al azar el resultado puede ser parcial, no dar información de la parte crítica de la gráfica. Hay que calcular los puntos de corte con el eje OX (si es que existen) resolviendo la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. Además, hay que calcular las coordenadas del vértice, el punto más importante, que se puede hacer a partir de los cortes con el eje horizontal o mediante una fórmula. Por último es recomendable completar una tabla de valores con puntos cercanos a los anteriores … y después representarlos en unos ejes de coordenadas y unirlos con el mejor trazo posible para que obtener lo más aproximado a una parábola.

 

En esta práctica tendremos la gráfica ya dibujada. Uno de los objetivos es analizar la relación entre el valor de los coeficientes a, b y c y las propiedades de la gráfica. También investigarás cuáles son las coordenadas del vértice y qué relación tienen estas coordenadas con los coeficientes de la función

 

Por último, y siguiendo en la iniciación de construcciones propias, resolverás gráficamente sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

 

QUÉ HACER

 

En la escena de GeoGebra puedes ver la gráfica de la función f(x) = ax2 + bx + c  para los valores en los que estén situados los deslizadores horizontales. La expresión algebraica de la función dibujada se ve en trazo azul, en la parte superior. En la gráfica puedes ver el vértice y sus coordenadas. También hay una línea vertical discontinua que no forma parte de la gráfica; es su eje de simetría.

 

Moviendo los deslizadores cambias los valores de los coeficientes; el trazado de la gráfica se adapta dinámicamente a los nuevos valores.

 

Para relacionar el trazado de la gráfica con el valor de los coeficientes de la función modificarás uno de los deslizadores manteniendo los demás fijos.

 

Después, y en esta misma escena, resolverás gráficamente sistemas de ecuaciones. Para conseguirlo dibujarás las gráficas de las funciones cuyas expresiones forman el sistema y con las herramientas de GeoGebra determinarás su solución.

 

PREGUNTAS

Ficha del alumno pdf

Parábolas. Escena 1

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1.- Mueve todos los deslizadores y observa cuál es el efecto del cambio de cada deslizador en el trazado de la gráfica.

2.- La línea discontinua no forma parte de la gráfica pero es su eje de simetría. Si, idealmente, doblaras la gráfica por esta línea cada rama de la parábola quedaría superpuesta en la otra rama.
-
¿Cómo se llama el punto de intersección del eje de simetría con la parábola?

Interpretación geométrica del coeficiente x2 (a)

3.- Sitúa el deslizador en a = 1.
-
La gráfica ¿qué tiene, máximo o mínimo?
-
¿Cómo se llama el punto en el que se alcanza el máximo / mínimo?
-
¿Cuál es la curvatura de la gráfica, cóncava hacia arriba (forma de U) o cóncava hacia abajo (forma de ∩)?

4.- Fija a en 1.75.
-
¿Hay máximo o mínimo?
- ¿
Cuál es el punto donde se alcanza el máximo / mínimo?
-
¿Cómo es la concavidad de la gráfica, cóncava hacia arriba (forma de U) o cóncava hacia abajo (forma de ∩)?

5.- Mueve a al valor 3.
-
El extremo de la función, ¿es un máximo o un mínimo?
-
¿Dónde está el máximo / mínimo?
-
¿Cómo es la concavidad de la gráfica?

6.- Has visto el trazado de la curva para los valores de a iguales a 1, 1.75 y 3, todos ellos valores positivos. Mueve el deslizador de forma que tome otros valores positivos y piensa en la respuesta a las tres preguntas que se han hecho en cada caso.

7.- Conclusión.
Si el coeficiente de x2 (a) es positivo, el vértice es un __________ y la gráfica es cóncava hacia _________.

Veamos qué ocurre cuando a toma valores negativos.

8.- Sitúa el deslizador en a = –2.
-
El vértice ¿es un máximo o un mínimo?
-
¿Cuál es la curvatura de la gráfica, cóncava hacia arriba (forma de U) o cóncava hacia abajo (forma de ∩)?

9.- Mueve a al valor –0.5.
-
El vértice ¿es el máximo o el mínimo?
-
¿Cuál es la curvatura de la gráfica?

10.- Conclusión. Cambia el deslizador para otros valores negativos y fíjate en su trazado respecto a la existencia de máximo o mínimo y en cuanto a su curvatura.

Si el coeficiente de x2 (a) es negativo, el vértice es un __________ y la gráfica es cóncava hacia _________.

11.- Seamos más precisos.
- Mueve lentamente a desde 0.1 hasta 4.5 ¿Cómo varía el trazado de la parábola en función de la magnitud de a?
-
Repite el proceso para valores de a negativos. Desliza lentamente a desde –5 hasta –0.1. ¿Cuál es el cambio en la gráfica cuando a, en valor absoluto, se va haciendo más pequeño?

Interpretación geométrica del término independiente (c)

12.- Mueve los deslizadores a, b y c a los valores 1, 0 y 0 respectivamente. La gráfica en pantalla es la de f(x) = x2. Cambia el valor de c de manera que tome valores positivos y negativos.
- ¿Cuál es el efecto de la variación de c en el trazado de la gráfica?
- Sitúa
a = -1 y b = 2. Después cambia el valor de c y observa el efecto de los cambios en el trazado de la gráfica. ¿Puedes formular una interpretación gráfica del coeficiente c? a y b.

13 .- Fija ahora a = - 0.5 y c = 3 y después modifica b.
- ¿Varía la curvatura o la amplitud de la parábola?

Coordenadas del vértice

14.- Estudiemos ahora cómo determinar las coordenadas del vértice.

a) Fija los deslizadores en a = 0.5, b = −1, c = −4. Si no puedes fijar algún valor exacto “a pulso” sitúate sobre el deslizador correspondiente, ve a Propiedades pulsando el botón derecho y en la pestaña Básico teclea el número que corresponda en Valor.

Recuerda que activando Desplazar Vista Gráfica puedes mover la pantalla para que se vea la parte de la gráfica que te interese.

b) Despliega el botón Puntos, selecciona Intersección de Dos Objetos , haz clic sobre el eje OX y después sobre la gráfica y se verán los puntos de corte de la parábola y el eje OX.

c) Desde Propiedades haz que se vean las coordenadas de los dos puntos de corte (Propiedades / Básico / Muestra Rótulo / Valor).

d) ¿Qué relación hay entre la coordenada x del vértice y la de los puntos de corte con el eje horizontal? Para responder fíjate en la simetría de la gráfica y en el valor numérico de las coordenadas respectivas.

e) Mueve los deslizadores de manera que la parábola siempre corte al eje horizontal y comprueba que la relación entre las coordenadas x de los puntos de corte y la del vértice es siempre la misma.

 

Recuerda que para hallar los puntos de corte con el eje OX (y = 0) se resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0.  Las soluciones vienen dadas por las expresiones

 

Por otra parte sabemos que el punto medio entre dos puntos es la media de sus valores numéricos (el punto medio entre 3 y 9 es 6, que se obtiene calculando (3+9) / 2 , entre −1 y 8 es 3.5, resultado de efectuar (−1+8) /2 )

Así pues, lo que tienes que hacer es sumar las expresiones de x1 y x2 y dividir el resultado entre 2.

 

15.- Conclusión: ¿cuál es fórmula de la coordenada x del vértice?

Esta fórmula es válida aunque la parábola no corte al eje OX.

 

 

Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones

 Abre un archivo nuevo desde la Barra de Menús, Archivo / Nuevo.

1.- Resuelve gráficamente el sistema

 

a)      Escribe en el Campo de Entrada las ecuaciones que componen el sistema.

b)      Cambia el color de las gráficas y haz que se vea su fórmula (botón derecho / Muestra Rótulo).

c)      Con la herramienta Intersección de Dos Objetos   marca el punto de corte.

d)     Desde Propiedades haz visible sus coordenadas (botón derecho / Propiedades / pestaña Básico / activa Muestra Rótulo seleccionando Nombre y Valor).

e)      Solución:

                                          x = ______          y = ______

 

 

2.- Resuelve gráficamente el sistema

 

a)      Repite el proceso del anterior ejercicio.

 

                                          x = ______          y = ______

El exponente 2 lo puedes introducir como en una Hoja de Cálculo (^2) o insertando el superíndice 2 desde la primera barra despegable del Campo de Entrada.

Si quieres aumentar el zoom de la Ventana Gráfica haz clic sobre Desplazar Vista Gráfica  , pincha después en la pantalla y mueve la rueda del ratón. (Si arrastras el puntero verás cómo se desplaza la vista gráfica)

 

3.- Resuelve gráficamente el sistema

 

                                          x = ______          y = ______