FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

ficha del profesor

 

ENUNCIADO

 

La expresión general de una función exponencial es f(x) = ax  donde a es un número real positivo y distinto de 1 llamado base de la función.

 

El trazado “manual” de las gráficas de estas funciones se hace a partir de una tabla de valores que se construye con ayuda de la calculadora científica con la función xy o ^, dependiendo del modelo. En esta tabla puede ser conveniente dar valores decimales a la variable porque si nos limitamos a valores enteros la función puede por una parte crecer y por otra, acercarse a cero en un intervalo muy pequeño.

 

En el dibujo puedes ver las gráficas de las funciones 0.7x, 0.15x, 10x y 2x.

 

 

Observa, en primer lugar, que todas las funciones son positivas. Además, todas cortan al eje OY en el mismo punto. Por otra parte, parece haber dos tipos de gráficas: las que tienen las de base menor que 1, por un lado, y las que tienen base mayor que 1, por otro.

 

En esta práctica uno de los objetivos es precisar estas similitudes y llegar a enunciar las propiedades fundamentales de este tipo de funciones.

 

El estudio de las funciones exponenciales va a ir acompañado del estudio de las funciones logarítmicas pues ambas funciones guardan una íntima relación al ser inversas; la función inversa de la función exponencial es la logarítmica de la misma base, y la inversa de la función logarítmica es la exponencial.


Veamos qué son funciones inversas con un ejemplo.

 

f(x) = 4x y g(x) = x/4  son funciones inversas porque si multiplicamos por 4 un número cualquiera (x) y después dividimos por 4 el valor obtenido volvemos al número inicial (x):

        5; f(5) = 4·5 = 20 ; g(20) = 20/4 = 5
 13; f(13) = 4·13 = 52 ; g(52) = 52/4 = 13

(La propiedad también es válida si aplicamos las funciones en orden inverso, primero dividiendo por cuatro el número y después multiplicando por cuatro el resultado)


Recordemos la definición del logaritmo de un número, que se hace en términos de la función exponencial.

 

 (el logaritmo en base 3 de 9 es igual a 2)

 (el logaritmo en base 10 de 100.000 es 5)

 

En general, el logaritmo en base a de b (se escribe ) es el exponente al que hay que elevar a para obtener b.

 

Una consecuencia de la definición del logaritmo es que la base tiene que ser un número positivo, al igual que en las funciones exponenciales.


 

 y  son funciones inversas: si elevamos 3 a un número cualquiera (x) y después calculamos el logaritmo en base 3 del valor obtenido tenemos el número inicial (x):

 

 

(Como antes, si componemos en orden inverso las funciones, primero calculamos el logaritmo y después la exponencial de la misma base, volvemos al valor inicial)


 Si se conoce el valor de los logaritmos en una base determinada y las propiedades generales de los logaritmos se pueden calcular logaritmos en cualquier base. Con ayuda de la calculadora podemos calcular los logaritmos de base 10, llamados logaritmos decimales, y los de base e, que son los logaritmos neperianos. Las funciones son log para logaritmos decimales, y  ln para logaritmos neperianos.

 

El trazado manual de una función logarítmica de base distinta a 10 ó e requiere, por tanto, el conocimiento de las propiedades de los logaritmos.

 

(Este número e aún no lo conocéis, pero es uno de los números más importantes en las matemáticas. Su expresión decimal aproximada es e ≈ 2.7182818…)

 

Las siguientes gráficas son de funciones logarítmicas.

 

 

Si las observas detenidamente verás que, girándolas, se parecen mucho a las de las funciones exponenciales. La razón es que exponenciales y logarítmicas son funciones inversas, al igual que las funciones "multiplicar por cuatro" y "dividir por cuatro".

 

Con ayuda de GeoGebra se pueden estudiar las propiedades generales de las funciones logarítmicas.

 

QUÉ HACER

 

En la escena de GeoGebra puedes ver el trazado de la función f(x) = ax  para el valor actual del deslizador, es decir, puedes ver el trazado de f(x) = 2x. Moviendo este deslizador, en la parte superior izquierda, cambia la base de la función y su trazado.

 

En la parte superior derecha hay dos deslizadores, Exp y Log, que funcionan como interruptores. Cuando el deslizador está en el valor 1 se ve la función correspondiente; cuando está en el valor 0 la gráfica no se ve en pantalla.

 

En la primera parte de la tarea estudiarás las propiedades de la función exponencial distinguiendo los casos en que la base de la función es mayor y menor que 1.

 

Después, cambiando las posiciones de los interruptores, analizarás las principales de las funciones logarítmicas.

 

Por último, relacionarás ambas funciones a partir de los trazados de sus gráficas.

 

PREGUNTAS

 Ficha del alumno pdf

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El deslizador a, en la parte superior izquierda debe estar en el valor 2. Los interruptores de la parte superior derecha tienen que estar en las posiciones Exp = 1, Log = 0. En pantalla se ve únicamente la gráfica de f(x) = 2x . Si no es así sitúa los deslizadores e interruptores en las posiciones indicadas.

 

1.- Mueve el deslizador a en un rango de valores mayores que 1 y responde a las siguientes preguntas:

           ¿Cuál es el dominio de la función?

           ¿Qué signo tiene la función en todo su dominio?

           Todas las gráficas pasan por un punto ¿Cuál es? ¿Por qué todas pasan por ese punto?

            Para valores de la base mayores que 1, ¿cómo son las funciones, crecientes o decrecientes?

           ¿Tienen algún máximo o mínimo? ¿Dónde?

           Cuando la variable x se hace grande y positiva, ¿cómo se comporta la función?

           Asíntota horizontal por la izquierda. Cuando x es negativa y grande en valor absoluto,  ¿hacia dónde se acerca la función?

 

2.- Ahora estudiaremos las propiedades de las funciones exponenciales de base comprendida entre 0 y 1. Mueve el deslizador a en un rango de valores menores que 1 y responde a las siguientes preguntas:

           ¿Cuál es el dominio de la función

           ¿Qué signo tiene la función en todo su dominio?

           Todas las gráficas pasan por un mismo punto ¿Cuál es? ¿Por qué?

           Para valores de la base menores que 1, ¿cómo son las funciones, crecientes o decrecientes?

           ¿Tienen algún máximo o mínimo?

           Asíntota horizontal por la derecha. Cuando la variable x se hace grande y positiva, ¿cómo se comporta la función?

           Para valores de x negativos y grandes en valor absoluto, ¿qué ocurre a la función?

 

Estudiaremos ahora las propiedades de las funciones logarítmicas. Cambia los interruptores a los valores Exp = 0 y Log = 1.

 

3.-  Cálculo de logaritmos a partir de la gráfica. Sitúa el deslizador a en el valor 2 y moviendo el punto sobre la gráfica calcula los siguientes logaritmos:

 

log 2 8 =                     log 2 32 =                      log 2 21 =                     log 2 0.5 =

           

4.- Mueve el deslizador a en un rango de valores mayores que 1 y responde a las siguientes preguntas:

           ¿Cuál es el dominio de la función?

           ¿En qué intervalo la función es positiva?

           ¿En qué intervalo la función es negativa?

           Todas las gráficas pasan por un punto ¿Cuál es?

           Para valores de la base mayores que 1, ¿cómo son las funciones, crecientes o decrecientes?

           ¿Tienen algún máximo o mínimo? ¿Dónde?

           Cuando la variable x se hace grande y positiva, ¿cómo se comporta la función?

           Asíntota vertical por la derecha. Cuando x se acerca al valor 0, ¿qué ocurre con la gráfica de la función?

 

5.- Vamos ahora con el estudio para valores de la base del logaritmo comprendidos entre 0 y 1. Mueve el deslizador a en un rango de valores menores que 1 y responde a las siguientes cuestiones:

           ¿Cuál es el dominio de la función?

           ¿En qué intervalo la función es positiva?

           ¿En qué intervalo la función es negativa?

           Todas las gráficas pasan por un punto ¿Cuál es?

           Para valores de la base menores que 1, ¿cómo son las funciones, crecientes o decrecientes?

           ¿Tienen algún máximo o mínimo? ¿Dónde?

           Cuando la variable x se hace grande y positiva, ¿cómo se comporta la función?

           Asíntota vertical por la izquierda. Cuando x se acerca al valor 0, ¿qué ocurre con la gráfica de la función?

 

Para finalizar veremos la relación que existe entre las gráficas de la función exponencial y la logarítmica de la misma base.

 

Sitúa los interruptores en los valores Exp = 1 y Log = 1.

 

6.- Mueve el deslizador a y observa qué ocurre. ¿Cuál es la relación entre las gráficas de las dos funciones, la exponencial y la logarítmica?