Definición de cónica a partir de un foco y la directriz
La denominación de cónicas según hemos visto se atribuye a las curvas que se obtienen por sección de un cono circular recto con planos. En el apartado se estudiaron las
cónicas como lugares geométricos de puntos del plano. Hemos de observar que, a diferencia de la elipse y la hipérbola, en la noción de parábola hemos introducido un
concepto nuevo, su directriz. La parábola puede ser definida como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la razón de las distancias al foco y a la directriz es una
cantidad constante e igual a la unidad.
Sin embargo, la elipse y la hipérbola gozan también de esa propiedad. Para cada foco de la elipse o de la hipérbola se puede exhibir una dirección denominada directriz asociada
tal que la razón de los radios vectores de los puntos de esas curvas y la distancias a la directriz asociada es una constante.
Este apartado está dedicado al estudio de esta propiedad de la elipse y de la hipérbola.
Definición: Una sección cónica o simplemente una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano
cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante.
El punto fijo se llama foco, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e.
Teorema: El lugar geométrico de los puntos del plano tales que la razón constante e de la
distancia a un punto y una recta fijos es una elipse si e <
1 y una hipérbola si e > 1.
Demostración:
Probaremos que en un sistema de referencia debidamente elegido, el lugar geométrico del plano que verifican las condiciones del enunciado esta definido por las ecuaciones:
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si e < 1, es decir, es una elipse |
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si e > 1, es decir es, una hipérbola |
Establezcamos un sistema de referencia cuyo eje OX coincida con la recta que pasa por el foco F
y es perpendicular a la directriz r, con un origen O todavía no determinado. Sea p la distancia del foco a la directriz, la cual
suponemos conocida. Introduzcamos ahora la variable c, distancia del origen de coordenadas al foco, c = OF. En este sistema de referencia las
coordenadas del foco son F (c, 0) y la ecuación de la directriz r º
x (c + p) = 0.
Sea P
(x, y) un punto cualquiera del plano, la relación
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[1] |
es una condición necesaria y suficiente para que P pertenezca a la sección cónica. Por las
fórmulas de la distancia entre dos puntos y la distancia de un punto a una recta se tiene
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[2] |
De [1] y [2] se sigue la relación
es una condición necesaria y suficiente para que el punto P pertenezca a la cónica. Eliminando el
radical se obtiene la igualdad
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[3] |
Esta expresión no constituye la ecuación de una cónica apuesto que se ha escogido de un modo especial el sistema de
referencia.
Si e ¹ 1 basta tomar el origen O de manera que c = e² p/(1 e²) y orientar el eje de
abscisas de O hacia F, con ello la relación [3] se puede escribir en la forma
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[4] |
Ahora
será necesario efectuar la distinción de las dos posibilidades que ofrece la excentricidad e, de ser mayor o menor que 1. Al poner a = e p/(1
e²) para el denominador y² se tienen dos posibilidades
si e < 1 entonces |
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si 1 < e entonces |
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y por consiguiente se tendrán dos tipos de cónicas, cuyas ecuaciones serán:
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elipse |
e < 1 |
(en la que a = b corresponde a la ecuación de una circunferencia), y
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hipérbola |
1 < e |
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