Como introducción a este tema, vamos a retomar el concepto de función lineal. En la unidad anterior observamos que las funciones lineales eran funciones representadas por rectas donde los puntos de la misma cumplíian (x, mx). También deciamos que eran proporcionales y a esa proporción la llamamos pendiente.
1. En esta primera escena, recordaremos el concepto de función lineal, para ello te proponemos que des valores a la pendiente m. Introduce el valor y luego "intro", o sube y baja el valor de m con los botones de subida o bajada.
A continuación, completa en tu cuaderno la siguiente tabla observando la gráfica obtenida en la tabla.
pendiente m |
Punto 1 |
Punto 2 |
Punto 3 |
Cociente |
||||
x |
y |
x |
y |
x |
y |
x/y |
y/x |
|
1 |
1 |
2 |
4 |
|||||
3 |
3 |
-2 |
4 |
|||||
2,3 |
1 |
2 |
4 |
|||||
- 2 |
1 |
2 |
4 |
|||||
¿Qué observas en la columna cociente y en la columna pendiente? ¿Existe una relación entre la pendiente m y los valores obtenidos en el cociente? ¿Se cumplen en todos los puntos?
En el punto anterior hemos realizado una recogida de puntos de una ecuación lineal observando que al realizar los cocientes entre la coordenadas cartesianas hemos obtenido siempre el mismo valor.
Por ejemplo, para la función y = 4x, entre otros puntos obtenemos A (1, 4), B (2, 8), C (3, 12), D (-1, -4) o E (-2, -8) cumplen que:
Llamamos proporción a una igualdad entre dos fracciones, donde el cociente entre ambas fracciones se llama constante de proporcionalidad o razón de la proporción.
2. El otro día acompañé a mi padre a comprar 2 kilos de naranjas a la frutería de la esquina de mi casa. Me costaron 1 €, y me entraron 12 unidades. Mi madre me ha pedido que hoy vaya a comprar más naranja, pues ya se han acabado las que compré con mi padre. En concreto quiere que compre 5 kilos de naranjas. ¿Cuánto me costarán?
Para ayudarte completa la tabla con ayuda de la escena propuesta.
kilos de naranjas |
1 |
2 |
3 |
6 |
8 |
Euros |
¿Cuántas naranjas me darán?
Para ayudarte completa la tabla con ayuda de la escena propuesta.
kilos de naranjas |
1 |
3 |
6 |
8 |
10 |
Naranjas |
¿Son magnitudes proporcionales los kilos de naranjas y el dinero que cuestan? ¿Y los kilos de naranjas y las unidades que me dan? En caso afirmativo, ¿Qué razón de proporcionalidad tienen?
Una propiedad que tienen las proporciones es que los productos de los medios es igual al producto de los extremos, es decir, en una igualdad que cumpla la razón de proporcionalidad
el producto de los valores a y d deben ser igual que el producto de los valores b y c.
3. Comprueba en el ejercicio anterior que se cumple la propiedad de las proporciones.
A continuación resuelve estos ejercicios:
4. Un coche tarda 4 horas en recorrer 360 km, manteniendo la velocidad constante en todo el trayecto. ¿cuánto recorrerá en 5 horas?
Aplicando la propiedad de las proporciones, calcula el valor requerido en tu cuaderno. Posteriormente observa que ocurre en la escena y si coincide con el valor que has obtenido.
5. Si el AVE tarda 2 horas en llegar desde Madrid a Córdoba, que distan 400 kilómetros, ¿cuánto recorrerá en tres horas, si mantiene una velocidad constante?
Realiza en tu cuaderno estos problemas y comprueba los resultados obtenidos en la escena cambiando los valores de los parámetros a, b y c. Recuerda que puedes hacerlo de dos forma introduciendo el valor y dar a "intro" o con el ascensor de cada parámetro.
6. Si una persona recorre 20 kilómetros en cuarenta minutos en bicicleta, ¿cuánto recorrerá en una hora?
7. Si una botella de gaseosa cuesta 0,45 €, ¿cuánto cuesta una caja que contiene 12 botellas?
8. Un paquete de chicles cuesta 0,75 €. Cada paquete contiene 5 chicles. ¿Cuánto cuestan 3 paquetes? ¿Cuántos paquetes compraré con 3 €? ¿Cuántos chicles compraré con 4,50 €?
Hay magnitudes que están relacionadas de tal forma que al aumentar una de ellas, la otra disminuye. Por ejemplo, si viajamos en coche, cuanto mayor sea su velocidad, menor es el tiempo que tardamos en hacer un recorrido determinado.
Pero esta relación entre ambas magnitudes también es muy especial, si la velocidad del vehículo aumenta el doble, el tiempo que tarda disminuye a la mitad, si aumenta el triple, el tiempo disminuye a la tercera parte.
Cuando se cumple esta relación, diremos que las dos magnitudes son inversamente proporcionales.
9. En el colegio se quiere organizar una excursión en primavera. Se contrata un autobús con conductor que dispone de 80 plazas y cuesta 360 €. Si se llena el autobús, ¿cuánto debe pagar cada alumno? ¿Y si sólo se cubren la mitad de las plazas?
En la escena siguiente, asígnale a la variable cubiertas distintos valores y observa el resultado. Escribelos en la siguiente tabla.
Plazas cubiertas |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
Precio alumno |
