10. TEOREMA DE PITÁGORAS

Xeometría

  Folla de traballo

1. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.

Un triángulo é rectángulo cando un dos seus ángulos é recto, é dicir, mide 90º.

O lado oposto ao ángulo recto chámase hipotenusa mentres que os outros dous lados se chaman catetos.

Lembra que en calquera triángulo, a suma dos tres ángulos vale 180º. Polo tanto, en calquera triángulo rectángulo, a suma dos dous ángulos agudos vale 90º.

Na escena seguinte move os vértices do triángulo ata conseguir que o triángulo sexa rectángulo no vértice A.

Anota no teu caderno os valores dos ángulos B e C. Comproba que a súa suma de B e C é igual a 90º. Anota tamén as medidas dos tres lados do triángulo.

Repite o proceso e constrúe tres triángulos rectángulos de distinto tamaño e forma.

O triángulo máis famoso da historia:

Os antigos exipcios xa coñecían que calquera triángulo de lados 3, 4 e 5 unidades era rectángulo. (Isto lles resultaba moi útil para escuadrar)

Verifícase que o cadrado da lonxitude da hipotenusa (o lado maior) é igual á suma dos cadrados das lonxitudes dos catetos:

5²=4²+3²

Constrúe na escena anterior un triángulo con lados 3, 4 e 5. Comproba que efectivamente dito triángulo é rectángulo e que o ángulo recto está no vértice oposto á hipotenusa, de lado 5. Aumenta a escala da escena para que te resulte máis doado.

2. O TEOREMA DE PITÁGORAS

Pitágoras foi un filósofo e matemático grego que viviu en torno ao ano 500 antes de Cristo. El descubriu que a relación anterior é tamén certa para todos os triángulos rectángulos. Isto é, nun triángulo rectángulo calquera de hipotenusa a e  catetos b e c, verificase a relación:

a²=b²+c²

Esta relación coñécese como O TEOREMA DE PITÁGORAS

Nun triángulo rectángulo, o cadrado da hipotenusa é igual á suma dos cuadrados dos catetos.

Observa que ao mover o vértice B varían os valores da hipotenusa e dos catetos b e c. Observa en cada caso que sempre se verifica o teorema de Pitágoras.

Move o punto B de tal xeito que os valores de b e c valan 8 e 6, 6 e 8, 5 e 12, 12 e 16, 9 e 12, 8 e 15, 20 e 21 e 10 e 10. En cada caso, anota no teu caderno as medidas dos lados do triángulo, así como os cadrados das tres medidas (a², b² e c²).

Mide coa regra os lados de teu libro de Matemáticas e anótaos no caderno. Chama b á medida do borde maior do libro e c á do menor.  Na escena anterior asigna aos catetos b e c as medidas do libro. Anota o valor da hipotenusa a. Mide coa túa regra a diagonal do libro e observa que coincide co valor de a anterior.

Dispoñemos dunha escada de 2,20 cm de lonxitude. A apoiamos nunha parede a 1,80 cm de altura. A qué distancia da parede temos situada a base da escada?

Calcula a altura dun triángulo equilátero de 6 cm de lado.

3. DEMOSTRACIÓN DO TEOREMA DE PITÁGORAS.

Na figura seguinte demóstrase o teorema de Pitágoras.

- Os dous cadrados grandes ocupan a mesma superficie.

 - Se lle quitamos os catro triángulos azuis (iguais ao triángulo rectángulo inicial) a  ambos cadrados as superficies que quedan tamén son iguais

Logo  a² = b²+c²  

Esta demostración é atribuída ó matemático hindú Bhaskara (cara 1150 d.C.) Segundo el, non é necesaria ningunha explicación, e limitouse a escribir: “Mira!” debaixo da figura.

Proba a cambiar as medidas do triángulo. Verás que a demostración anterior se sigue cumprindo.

Unidade adaptada por Paula Blanco a partir dunha de Fernando Arias Fernández-Pérez

© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001