Ecuaciones lineales.

Compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

3º ESO
 

1. ECUACIÓN LINEAL

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una expresión algebraica de la forma:

donde a, b  y c son números reales.

Cada par de valores (x,y) que satisfacen la ecuación es una solución de la ecuación.

La representación gráfica asociada a una ecuación lineal es una recta. Si la ecuación es:

   se obtiene una recta oblicua
   se obtiene una recta vertical, paralela al eje de ordenadas
   se obtiene una recta horizontal, paralela al eje de abscisas

Modifica los coeficientes de la ecuación empleando los cursores correspondientes o escribiendo directamente en el hueco en blanco una cifra seguida de "intro".

1.Con ayuda de una tabla de valores, representa las siguientes ecuaciones lineales. Comprueba después el resultado introduciendo los valores de los coeficientes según se indica en el cuadro de ayuda.

             a.   2x + 4y = 3

             b.    x - y = 2

             c.   x = 2

             d.   y = 3

             e.   x = 0. ¿Qué recta obtienes?

             f.   y = 0. ¿Qué recta obtienes?

             g.  2x + y = 1


2. ESTUDIO GRÁFICO DE LA COMPATIBILIDAD. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es una expresión formada por dos ecuaciones lineales, de la forma:

Cada par de valores (x,y) que satisfacen cada una de las ecuaciones es una solución del sistema de ecuaciones. Cada una de las ecuaciones se representa por una recta en el plano.

Se dice que un sistema es compatible determinado (SCD), si tiene solución única (x,y). Gráficamente se corresponde con dos rectas que se cortan en un único punto.

Condición necesaria y suficiente para que un sistema sea compatible determinado es que los coeficientes que acompañan a las incógnitas no sean proporcionales entre sí, es decir:

Se dice que un sistema es compatible indeterminado (SCI), si tiene más de una solución (x,y). Gráficamente se corresponde con dos rectas que se superponen, o rectas coincidentes.

Condición necesaria y suficiente para que un sistema sea compatible indeterminado es que las dos ecuaciones sean proporcionales, es decir:

Se dice que un sistema es compatible incompatible (SI), si no tiene soluciones. Gráficamente se corresponde con dos rectas paralelas distintas.

Condición necesaria y suficiente para que un sistema sea incompatible es que sean proporcionales los coeficientes de x e y, pero no se mantenga esa relación con los términos independiente, es decir:

 

Modifica los valores de las ecuaciones usando las flechas o introduciendo directamente el valor seguido de "intro".

EL control "Sol" del margen superior izquierdo, permite visualizar (valor 1) o no (valor 0), la solución del ejercicio.

2. Comprueba gráficamente la compatibilidad de los siguientes sistemas:                         
a.  

b.

 

c.

 

d.

 

e.

 

f.

 

3. Busca otros ejemplos de sistemas y estudia gráficamente su compatibilidad.

 


3. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA COMPATIBILIDAD
Consideramos el sistema

 

 

Condición necesaria y suficiente para que sea compatible determinado es:

 

Condición necesaria y suficiente para que sea compatible indeterminado es:

 

Condición necesaria y suficiente para que sea incompatible es:

 

 

Modifica los valores de las ecuaciones usando las flechas o introduciendo directamente el valor seguido de "intro".

Si una de las dos ecuaciones del sistema tiene los coeficientes de x e y distintos de 0, reordena el sistema para que ésta sea la segunda ecuación (así A y B serán distintos de 0).

Si los coeficientes de x e y de una de las ecuaciones son ambos 0, reordena el sistema de forma que ésta sea la primera ecuación (con lo que a = b = 0).

En el resto de los casos, no importa el orden de las ecuaciones.

Variando el valor de "pasos" con ayuda de las flechas irás viendo las etapas sucesivas de la resolución analítica.

4. Comprueba analíticamente la compatibilidad de los siguientes sistemas:                         
a.

b.

 

c.

 

d.

 

e.

 

f.

 

5. Busca otros ejemplos de sistemas y estudia analíticamente su compatibilidad.

 


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  Laura Rodríguez Macía
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2008