Fenòmens que segueixen una llei exponencial
Veurem tot seguit exemples de parells de valors que estan relacionats exponencialment.
Fixa't en la imatge:
(gràfic procedent de la unitat didàctica "Potencias y Raíces" de 1r d'ESO)
El nombre d'avantpassats de la Luisa en
les diferents generacions és 2,4,8,16,....... : fixa't que és la successió
de les potències de 2. De manera que si volguéssim saber, per exemple,
quin és el nombre d'avantpassats directes de la Luisa set generacions
enrere, en tenim prou de calcular 27= 128. (Molts,oi? Són més de 4
aules d'ESO plenes, i això en menys de dos segles!). En
general, el nombre d'avantpassats de la Luisa fa x generacions és y =
2x .
Exemple 2. L'interès compost.
Diem que un capital està invertit a interès compost si, en acabar cada periode de capitalització, els interessos generats s'acumulen al capital inicial per tal de generar nous interessos.
Suposem que col.loquem 1 euro al 5% d'interès compost.
Al cap d'1 any tindrem 1'05 € Aquest capital es reinverteix:
Al cap de 2 anys tindrem 1'05+1'05·0'05 = 1'05·(1+0'05)=1'05·1'05=1'052 € Aquest capital es reinverteix:
Al cap de 3 anys tindrem 1'052 +1'052 ·0'05 = 1'052·(1+0'05)=1'052·1'05 =1'053 € Aquest capital es reinverteix:
......................................................................
Pots observar que, al cap de n anys, tindríem 1'05n euros. També en aquest cas, la relació entre la quantitat invertida i la quantitat generada segueix una llei exponencial.
Si, en comptes d'invertir 1 euro n'haguéssim invertit C, al cap de n anys tindríem:
Exemple 2. L'interès compost.
Diem que un capital està invertit a interès compost si, en acabar cada periode de capitalització, els interessos generats s'acumulen al capital inicial per tal de generar nous interessos.
Suposem que col.loquem 1 euro al 5% d'interès compost.
Al cap d'1 any tindrem 1'05 € Aquest capital es reinverteix:
Al cap de 2 anys tindrem 1'05+1'05·0'05 = 1'05·(1+0'05)=1'05·1'05=1'052 € Aquest capital es reinverteix:
Al cap de 3 anys tindrem 1'052 +1'052 ·0'05 = 1'052·(1+0'05)=1'052·1'05 =1'053 € Aquest capital es reinverteix:
......................................................................
Pots observar que, al cap de n anys, tindríem 1'05n euros. També en aquest cas, la relació entre la quantitat invertida i la quantitat generada segueix una llei exponencial.
Si, en comptes d'invertir 1 euro n'haguéssim invertit C, al cap de n anys tindríem:
Cn = C·1'05n
Si, en comptes de tenir el capital invertit
al 5% l'haguéssim tingut al r%, al cap de n anys tindríem:
Cn =C·(1+r/100)n
La fórmula anterior ens dóna el capital
final en un procés de capitalització composta.
Exemple 3. La desintegració radioactiva.
Es diu periode de semidesintegració d'una substància radioactiva al temps que triga un determinat nombre d'àtoms a reduir-se a la meitat. Per exemple, el periode de semidesintegració del Poloni-210 és de 5'2 anys.
Suposem que tenim 30g de Poloni-210. A la taula següent apareix la quantitat de Poloni-210 y que queda al cap de x anys.
La quantitat de Poloni-210 que queda al cap de x anys ve donada per la fórmula y = 30·0'5(x/5'2) .
En tots els exemples anteriors, les variables estan relacionades per la llei y = A·Bx : diem que estan relacionats per una funció exponencial.
Exemple 3. La desintegració radioactiva.
Es diu periode de semidesintegració d'una substància radioactiva al temps que triga un determinat nombre d'àtoms a reduir-se a la meitat. Per exemple, el periode de semidesintegració del Poloni-210 és de 5'2 anys.
Suposem que tenim 30g de Poloni-210. A la taula següent apareix la quantitat de Poloni-210 y que queda al cap de x anys.
| x (en anys) |
y (en grams) |
| 0 | 30 |
| 5'2 | 15 |
| 10'4 | 7'5 |
| 15'6 | 3'75 |
| 20'8 | 1'875 |
La quantitat de Poloni-210 que queda al cap de x anys ve donada per la fórmula y = 30·0'5(x/5'2) .
En tots els exemples anteriors, les variables estan relacionades per la llei y = A·Bx : diem que estan relacionats per una funció exponencial.
 |
 |
 |
 |
Conxa Sanchis Sanz. Any 2009.
Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. |