Semejanza: Figuras semejantes.
Geometría
 
1. Concepto de semejanza.
Intuitivamente: Dos figuras son SEMEJANTES si tienen la misma forma pero distinto tamaño.

Observa la siguiente escena Descartes: El cuadrilátero ABCD es fijo, mientras que el A´B´C´D´ puede cambiar de forma cambiando los valores de  y .

En donde . En la posición inicial puedes ver que y como obtenemos que .Esto lo podemos poner como:

  .Que son los cocientes que tienes en la escena.  En la escena también  puedes ver el valor de los ángulos de los dos cuadriláteros. Fíjate que una vez  conocidos los lados   el cuarto lado   queda determinado, igual sucede con los lados del cuadrilátero A´B´C´D´

 

Actividad 1. Intenta que el cuadrilátero rojo sea semejante al azul pero de un tamaño:

    a) doble;
    b) triple;
    c) mitad;
    d) vez y media.
 

Habrás observado:

CRITERIO DE SEMEJANZA ENTRE DOS POLÍGONOS: Para que dos polígonos (con el mismo número de lados) sean semejantes se han de cumplir las dos condiciones siguientes:
    1. Los ángulos respectivos han de ser iguales:
                        A = A´ ; B = B´ ; C = C´ ; ...
    2. Los lados respectivos han de ser proporcionales:
                        AB / A´B´ = BC / B´C´ = CD / C´D´ = ... = constante

Los vértices, lados y ángulos correspondientes a dos polígonos semejantes se llaman homólogos; y a la constante de proporcionalidad (que aparece siempre que se dividen las longitudes de dos lados homólogos) se llama razón de semejanza

Actividad 2. Contesta en tú cuaderno:

  1. ¿Cuál es la razón de semejanza en cada uno de los apartados de la actividad 1?

  2. Dos triángulos son semejantes y la razón de semejanza es 5. Si los lados de uno de los triángulos miden 6, 11 y 15 cm, ¿Cuánto miden los lados del otro triángulo? ¿Qué puedes decir de los ángulos de los dos triángulos?

Actividad 3. Veamos que, en general, si sólo se cumple una de los dos criterios anteriores los polígonos resultantes pueden no ser semejantes:

  1. En tu cuaderno dibuja un cuadrado y un rombo (que no sea un cuadrado o dicho de otra forma,  que no tenga ángulos rectos), ambos de 5 cm de lado. Aunque sus ángulos homólogos no son iguales, los lados homólogos son proporcionales (¿cuál es la razón de semejanza?) ¿Te parecen semejantes? Deduce la conclusión.

  2. Piensa ahora en dos cuadriláteros con ángulos homólogos iguales y que no obstante no sean semejantes por no tener sus lados homólogos proporcionales. Dibújalos en tu cuaderno y escribe la conclusión.

    (Pista: los dos cuadriláteros pueden tener todos sus ángulos rectos)
       
           
  José Luis Bernal Garcías
 
© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001