Números Primos

	NÚMEROS PRIMOS
	Números

I. INTRODUCIÓN.

Un número primo, é aquel que soamente ten dous divisores: o 1 e o propio número. O contrario de número primo denomínase número composto.

O teorema fundamental da aritmética garante que todo número natural se pode descompoñer como produto de números primos.

O matemático grego Euclides no ano 300 a. C. (na proposición 20 do libro IX dos Elementos) demostrou a existencia de infinitos números primos.

II. CRIBA DE ERATÓSTENES.

2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31
32	33	34	35	36	37
38	39	40	41	42	43
44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55
56	57	58	59	60	61
62	63	64	65	66	67
68	69	70	71	72	73
74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85
86	87	88	89	90	91
92	93	94	95	96	97
98	99	100	101	102	103

Eratóstenes de Cirene(276-194 a. de C.) matemático grego, ideou unha forma de determinar os primeiros números primos ao construír a denominada Criba de Eratóstenes.

Consiste en construír unha táboa con todos os números en seis columnas e a continuación, empezando polo 2 riscamos todos os números que estean a unha distancia de 2 (o 4, 6, 8, etc.) despois seguimos co 3 riscando todos os números que estean a unha distancia de 3 (o 6, 9, 12, etc) e así sucesivamente con 5, con 7,con 11,... Así márcanse todos os múltiplos quedando sen marcar os primos.

O resultado é este táboa que aparece á esquerda cos números primos en cor azul e os restantes (compostos) en cor vermella.

1. - Proba a construír ti mesmo a Criba de Eratóstenes no teu caderno de traballo seguindo o método de construción exposto.

III. ¿COMO DESCUBRIR SE CERTO NÚMERO É PRIMO?

Un procedemento sinxelo para descubrir se un número N é primo sería comprobar, realizando a división, que non é divisible polos números primos máis pequenos que este.

Realmente non é necesario probar con todos os números primos máis pequenos que N, abonda con probar os que sexan máis pequenos que a raíz cadrada de N.

Ademais abondará con chegar a unha división na que o cociente sexa menor ou igual que o seguinte número primo polo que hai que dividir. Se esa división non é exacta, o número N resultará ser primo.

Aquí tes unha escena que che vai permitir descubrir se un número maior ou igual a 3 (como xa sabes 2 é o único par primo) e menor ou igual que 10.000, é número primo ou non.

Usa os interruptores para aumentar ou diminuír o valor do número. Tamén podes introducir o número no cadro de diálogo e pulsar "¿ "(Intro).

O botón Inicio restaura os valores iniciais.

2. - Realiza a comprobación con números primos que ti coñezas como os que aparecen na Criba de Eratóstenes e con outros números que ti queiras.

Anota no teu caderno os números primos que atoparas.

A seguinte escena mostra o algoritmo da división enteira. Vala utilizar para comprobar ti mesmo se un número dado N, é primo ou composto. Do mesmo modo en que o realiza a escena anterior, mediante o método da división, vai realizando as divisións entre os números primos menores que a raíz cadrada de N e observando o cociente e o resto.

3. - Comproba, utilizando o método da división, se os seguintes números son primos, anotando no teu caderno os resultados:

239	1621	1999	2001
1067	2011	911	769
677	279	387	771

Podes premer os interruptores para introducir o dividendo e divisor, pulsando despois a tecla Intro.

Este sinxelo procedemento que viches antes vólvese arduo e difícil se o número N é un número moi grande. Necesitariamos pois a axuda dun potente ordenador e aínda así poderíanos levar mesmo miles ou millóns de anos realizar o proceso.

Por iso existen outros procedementos matemáticos complexos para determinar se un número é primo ou composto:

Método de Fermat
Método da proba p-1
Método da proba p+1
Método das curvas elípticas
Método da criba cadrada
...

4. - Investiga: Busca información sobre algún destes métodos ou outro en particular.

IV. OS GRANDES NÚMEROS PRIMOS E OS NÚMEROS DE MERSENNE.

O 8 de setembro de 1985 descubríase en Houston (Tezas) o maior número primo achado ata a data: 2²¹⁶⁰⁹¹ - 1 un número de 65050 cifras.

Este número era un dos chamados números de Mersenne en honra ao matemático francés Mariñar Mersenne (1588-1648). Son números da forma 2n -1 sendo n enteiro. Destes números só unha pequena porcentaxe son primos.

En 1963 xa se coñecían 22 primos deste tipo. O número 34º é: 2^1257287 -1 e ten 378.632 cifras.

O último descuberto (o número 38) é: 2^6972593 - 1.

Existe un proxecto de investigación en Internet no que calquera pode participar co seu ordenador persoal para achar números de Mersenne primos. Podes consultalo en:

http://www.ctv.es/USERS/gbv/GIMPS/prime.htm

OS DEZ NÚMEROS PRIMOS MÁIS GRANDES:

*Número primo*	*Número de díxitos*	*Ano descubrimento*
2^13466917-1	*4053946*	*2001*
2^6972593-1	*2098960*	*1999*
2^3021377-1	*909526*	*1998*
2^2976221-1	*895932*	*1997*
2^1398269-1	*420921*	*1996*
1361846⁶⁵⁵³⁶+1	*402007*	*2002*
1266062⁶⁵⁵³⁶+1	*399931*	*2002*
5^.2^1320487+1	*397507*	*2002*
1057476⁶⁵⁵³⁶+1	*394807*	*2002*
857678⁶⁵⁵³⁶+1	*388847*	*2002*

5. - Investiga: Busca unha relación entre os grandes números primos e a ciencia da Criptografía no teu libro de matemáticas ou na biblioteca.

V. - PROBLEMAS ABERTOS SOBRE PRIMOS

En Matemáticas adóitase denominar "Problema aberto" aos problemas ou resultados formulados que non foron demostrados aínda.

Estes son só algúns dos resultados enunciados sobre primos que non foron demostrados aínda. Moitos deles son CONXECTURAS afirmacións das cales se está convencido da súa certeza pero non se conseguiron demostrar.

1. - Existe un número infinito de números primos que se diferencian en 2 (tales como 3 e 5; 17 y 19)

2. - CONXECTURA DE GOLDBACH:

Todo número par maior que dous pode escribirse como suma de dous números primos.

3. - Existe un número infinito de números primos que responden á forma dun número ao cadrado máis unha.

4. - Sempre existe un número primo entre dous números cadrados consecutivos.

Talvez algún destes problemas lógrese resolver en datas próximas, como sucedeu co Teorema de Fermat formulado en 1640 e considerado demostrado completamente en 1995 por Andrew Wiles, un profesor de Cambridge (Gran Bretaña):

" Non existen números enteiros x, e, z, que sexan solución da ecuación ^xn + ^yn = z^n, cando n é maior que 2".

6. -Intenta poñer dous ou tres exemplos de números que estean nas condicións de cada un das catro proposicións anteriores. Escríbeos no teu caderno.

Ademais pensa a qué outro famoso teorema se parecería a ecuación do teorema de Fermat se n fose igual a 2. ¿Tería solución ou solucións a ecuación en caso de que fose n=2? ¿Podes poñer un exemplo?

Volver

	Luis Javier Rodríguez González Traducción ao galego: Pedro A. Pazos García

	© Ministerio de Educación e Ciencia. Ano 2002