PRODUTO ESCALAR
1° BAC_CIENCIAS E TECNOLOXÍA
 
1. PRODUTO ESCALAR DE DOUS VECTORES

u . v = |u| . |v| . cos (u,v)

Produto dos seus módulos polo coseno do ángulo que forman

¡Atención! |u|, |v| e cos (u,v) son números. O produto u . v é un número. De ahí lle ven o nome, pois escalar significa número. Ou sexa o resultado do produto escalar de dous vectores NON é un vector, é un número.

NOTA: A partir de agora imos considerar sempre que as coordenadas de todos os vectores están referidas á base ortonormal B(x,y), sendo as compoñentes de x(1,0) e as de y(0,1). Recordas que nome recibe esta base?

Na escena seguinte podes mover co rato os extremos dos vectores u e v, verás como vai cambiando o |u|, o |v|, o ángulo que forman A, e o seu coseno. Por último verás o produto escalar dos dous vectores, ou sexa u.v
2. PROPIEDADES DO PRODUTO ESCALAR
1.- Comproba que se u=0 ou v=0, entón u.v=0 
2.- Comproba que se u é perpendicular a v, u.v=0, sendo u ¹ 0 e v ¹ 0, pois entón A=90º, e o cos90º=0 

3.- Propiedade conmutativa 
u.v = v.u  

4.- Propiedade asociativa 
a(u.v) = (au).v 
 a=número 
u=vector 
v=vector
5.- Nunha base ortonormal B(x,y) ou sexa x=(1,0) y=(0,1) cúmprese

x.x = 1

Para comprobalo pón na escena anterior 
u = x = (1,0)      v = x = (1,0)

y.y = 1

Para comprobalo pón na escena anterior 
u = y = (0,1)      v = y = (0,1)
x.y = y.x = 0 Para comprobalo pón na escena anterior 
u = x = (1,0)      v = y = (1,0)
6.- v.u = |v|.(|u|.cos (a)) = |v|.(proxección de u sobre v) 
de onde:

proxección de u sobre v = vectores6_1.gif (972 bytes)

vectores6_2.gif (1687 bytes)
7.- Propiedade distributiva:
u. (v + w) = u.v + u.w
Movendo os extremos dos vectores u, v e w, podes comprobar esta propiedade
3. EXPRESIÓN ANALÍTICA DO PRODUTO ESCALAR
Se as coordenadas dos vectores u e v respecto a unha base ortonormal son:
u (u1,u2) v(v1,v2) o produto escalar queda así:
u.v = u1.v1 + u2.v2
Podes comprobalo na escena seguinte, movendo os extremos dos vectores u e v (ou cambiando os valores das coordenadas nos botóns inferiores),  vendo o valor das coordenadas e do produto escalar   u.v
EXERCICIO 1

Comproba as propiedades 1 e 2 do produto escalar:

a) Move o extremo de u ata que as coordenadas sexan (0,0), ou ben introduce os valores (0,0) nos botóns inferiores da escena, para comprobar a propiedade1. 

b) Despois de dar ao botón inicio, anota no teu caderno as coordenadas de u e v e as operacións necesarias para obter o produto escalar u.v 
c) Cos botóns inferiores da escena, cambia as coordenadas dos vectores para que sexan perpendiculares. 

d) Anota no teu cuaderno as coordenadas elixidas e o cálculo do produto escalar u.v
4. MÓDULO DUN VECTOR
v.v = |v|.|v|.cos (v,v) = |v|2.cos 0 = |v|2.1 = |v|2

Polo tanto: vectores6_3.gif (1000 bytes)

Se as coordenadas de v son (v1,v2)

v.v = v1.v1 + v2.v2 = v12 + v22

vectores6_4.gif (1132 bytes)

Recorda que se o módulo vale un, o vector recibe o nome de vector unitario, todo vector pode ser unitario sen máis que dividilo polo seu módulo.
5. COSENO DO ÁNGULO DE DOUS VECTORES

Da definición de produto escalar: 
u.v = |u|.|v|.cos(u,v)

dedúcese que: vectores6_5.gif (1185 bytes)

E mediante as coordenadas:

 vectores6_6.gif (1594 bytes)
EXERCICIO 2

Cos vectores u e v da escena do EXERCICIO 1 xa vimos canto valía u.v, calcula agora no teu cuaderno:
a) |u|

b) |v|

c) cos (u,v) e o ángulo (u,v)

d) Canto ten que valer x para que v(x,2) sexa ortogonal a u? Observa a relación entre as coordenadas de u e este vector ortogonal a el.
As solucións a este exercicio pódelas comprobar na escena seguinte:

           
           
  Ángela Núñez Castaín (Modificada por Ana Isabel Gómez López)
 
© Ministerio de Educación, Política Social e Deporte. Ano 2008
 
 


Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.