TEOREMA DE TALES Y SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Geometría
 
1.TEOREMA DE TALES
Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. En ejemplo que se presenta en la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.

 

1.- Observa en la escena cómo se cumple en todo momento que AB/BC=A'B'/B'C'. Mueve los extremos A, A', C y C' y mira si cambian los valores de los cocientes. 

2.- Mueve también la paralela central arrastrando el punto rojo con el ratón y verás cómo varía cada uno de los cocientes. 

3.- Repite el proceso en tu cuaderno con las mismas medidas y realiza las mediciones para determinar si se cumple o no la igualdad de cocientes. 
4.- Desplaza la paralela central hasta que sean iguales los segmentos AB y BC y comprueba si son iguales los segmentos A'B' y B'C'. Mueve las dos rectas r y s para ver si se mantiene la igualdad.
2. Consecuencia del teorema de Tales
Si en la escena anterior se hacen coincidir los puntos A y A´ de manera que formen triángulo con C y C´, el teorema de Tales se sigue cumpliendo y, además, puede concluirse que: Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos, determina sobre éstos segmentos proporcionales. En la escena Descartes en el triángulo ABC se traza una paralela al lado BC que pasa por D y E y determina segmentos que son proporcionales porque sus cocientes son iguales.

 

5.- Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno un triángulo idéntico al de la escena, traza la paralela al lado BC y comprueba las medidas y sus cocientes. Constata cómo si desplazas los puntos B y C horizontalmente el valor de los cocientes no varía, sin embargo sí varía al desplazar la recta.

6.- Mueve la recta por encima del vértice A y verás que sigue cumpliéndose la proporcionalidad de esos segmentos. Pasará igual si la arrastras por debajo de B y C.
7.- En un triángulo de lados AB=10 cm, AC=12 cm y BC=8 cm se traza una paralela al lado BC a una distancia de 4 cm del vértice A, tomados sobre el lado AB, y que corta a los lados en D y E. Calcula las medidas AD, AE y DE
3. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC Y A'B'C' son semejantes se verifica que los ángulos A=A', B=B' y C=C', y los cocientes A'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA=r, llamada razón de semejanza. 
8.- En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del triángulo verde y observa como varía el triángulo azul, semejante al primero.

9.- Si los lados del triángulo verde fueran 3, 4 y 5 ¿Qué valor tendrían los del azul?

10.-Varía la razón de semejanza  y mira que los triángulos son idénticos en forma y tamaño. 

 

11.-Disminuye la razón hasta 0.5 y compara ambos triángulos ¿Cómo son ahora los lados del triángulo verde si los del azul fueran 3, 5 y 7?

12.- Repite la operación para razones 1.5, 0.25 y 3 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos triángulos.

13.- ¿Dos triángulos iguales, serían semejantes? ¿Y dos triángulos equiláteros? 

14.- Si dos triángulos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

4. SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los polígonos ABCDE Y A'B'C'D'E' son semejantes se verifica que los ángulos: A=A', B=B', C=C', D=D' y E=E', y los cocientes A'B'/AB=B'C'/BC=C'D'/CD=D'E'/DE=E'A'/EA=r, llamada razón de semejanza. 
15.- En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del pentágono azul y observa como varía el pentágono rojo, semejante al primero. Si los lados del pentágono azul fueran 3, 4, 4, 6 y 6.5 ¿Qué
valor tendrían los del rojo?

16.- Varía la razón de semejanza a 1 y mira que los pentágonos son idénticos en forma y tamaño. Aumenta la razón a 2 y compara ambos pentágonos ¿Cómo son ahora los lados del pentágonos azul si los del rojo fueran 3, 5, 6, 8 y 7?

 

17.- Repite la operación para razones 2, 3 y 0.25 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos pentágonos.

18.- ¿Dos pentágonos iguales, serían semejantes? ¿Y dos pentágonos regulares? Si dos pentágonos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos pentágonos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

       
           
  Miguel García Reyes
 
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2001