Fracciones, decimales y porcentajes: Definiciones.
Álgebra
 
1. Definiciones.
Cuando decimos "me he comido la mitad del bocadillo", estamos usando una fracción:

He dividido el bocadillo en dos partes iguales, 2 (denominador), y me he comido una de ellas, 1 (numerador)

Usaremos la escena siguiente para representar fracciones. En esta escena tenemos una unidad, representada por el rectángulo rojo. Sigue las instrucciones que se indican al margen para poder representar cualquier fracción, en particular 1/2.

En primer lugar selecciona el denominador con los controles de la parte inferior de la escena. Después, desplaza suavemente hacia la derecha con el ratón el punto señalado en la esquina superior izquierda hasta que el numerador alcance el valor deseado.

Si seleccionas el 2 en el denominador y desplazas el punto hasta que el numerador valga 1, verás que aparece abajo la fracción
La parte del rectángulo que se ha sombreado es
El resto hasta completar LA UNIDAD será otro

Por otra parte, si hacemos la división de 1 entre 2, nos sale 0.5, lo ves también en la escena. Así tenemos la fracción en forma de número decimal.
Pero hay más, esta fracción supone un 50% de la unidad. Basta multiplicar por 100 el decimal que nos ha salido, y tendremos el porcentaje.

Con esta escena puedes ver muchas fracciones, pasarlas a forma decimal y saber qué % suponen de la unidad. Siempre serán de la forma

Se obtienen dividiendo la unidad en tantas partes como diga el denominador d (con el botón inferior), y tomando tantas partes como diga el numerador n (moviendo el punto A)

En este caso sólo vamos a tomar en el numerador un número de partes inferior o igual al denominador, debido a que sólo hemos representado una unidad. Mas adelante veremos los demás casos.

Ejercicio 1

Representa en la escena anterior las siguientes fracciones, pulsando el botón inicio, cada vez que quieras cambiar de fracción:

y anota qué fracción representa la zona que no está sombreada hasta completar LA UNIDAD.

Efectúa las divisiones con la calculadora y comprueba las expresiones decimales y en porcentaje de cada una de ellas.

Para esta escena puedes coger otras fracciones que quieras, pero siempre con el numerador menor o igual que el denominador.

2. Fracciones equivalentes
Ejercicio 2.

La escena adjunta funciona básicamente como la anterior con la única diferencia de que el numerador se controla ahora desde el punto inferior izquierdo (A) y de que en este caso el númerador puede tomar valores decimales. El control del numerador es ahora un poco más delicado y tienes que moverlo despacio si quieres que el sombreado sea uniforme.

1) Representa en esta escena una fracción, por ejemplo 1/3 (ya sabes denominador=3 en el botón de abajo, y numerador =1 arrastrando el punto A)
2) Pulsa el botón del denominador una vez (d=4), y verás que la UNIDAD ha quedado dividida en cuatro partes iguales (cada una será 1/4), pero que la zona sombreada no coincide con ninguna de ellas, y que la fracción tiene un número decimal en el numerador. NO NOS VALE.
3) Pulsa de nuevo el botón denominador (d=5), la UNIDAD ha quedado dividida en cinco partes (cada una será 1/5) y vuelve a ocurrir lo mismo.
4) Pulsa de nuevo el botón denominador (d=6) ¡OH MILAGRO!: ahora la UNIDAD ha quedado dividida en seis partes (cada una será 1/6), pero la zona sombreada coincide exactamente con dos de esas partes. Ahora la fracción es 2/6, y es exactamente la misma cantidad que el 1/3 que teníamos al principio.
Eso quiere decir que 1/3=2/6, son dos FRACCIONES EQUIVALENTES.
En la escena siguiente puedes representar tres fracciones a la vez.
Representa, por ejemplo, las fracciones

Los denominadores se controlan con los botones de abajo, los numeradores arrastrando con el ratón los puntos A, B y C, hasta ver escritas cada una de ellas.
Podrás observar que ahora las fracciones pueden ser mayores que la unidad (hemos diseñado la escena con 4 unidades)

Habrás observado que las tres representan el mismo número.

Se dice que son fracciones equivalentes, esto es:


Observa que si multiplicamos numerador y denominador de la primera fracción por 2, nos da la segunda, y si lo hacemos por 3, nos da la tercera.

O al revés, si dividimos el numerador y denominador de la tercera fracción por 3, nos da la primera, y si lo hacemos con la segunda por 2, también nos da la primera.

Dada una fracción , para obtener una fracción equivalente, basta multiplicar o dividir, numerador y denominador por un mismo número. Así:

Ejercicio 3.

Halla dos fracciones equivalentes a y represéntalas en la escena anterior para comprobar que representan el mismo número.

Pero cuando no las podemos representar, ¿cómo averiguamos si dos fracciones son equivalentes?

Pues muy fácil. Por ejemplo si quiero saber si , basta comprobar que 12x10=15x8=120

¿Son equivalentes las fracciones ? ¿y y ?

Comprúebalo en la escena anterior.

Diremos que dos fracciones son equivalentes si se cumple la siguiente relación.

3. Reducción a común denominador.
El objetivo de este apartado es el siguiente: "Dado un conjunto de fracciones, obtener otro conjunto formado por fracciones equivalentes a las anteriores pero todas ellas con el mismo denominador".

Más adelante esto nos permitirá comparar fracciones con facilidad y efecturar operaciones con ellas.

Vamos a reducir a común denominador las fracciones

El procedimiento es el siguiente:

  1. Hallamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 4 y 6 = 12. Éste va a ser el denominador común. A continuación dividimos el denominador común por cada uno de los denominadores y el resultado se lo multiplicamos a los dos términos de la fracción.
  2. 12:4 = 3; Hay que multiplicar por 3; 
  3. 12:6=2; Hay que multiplicar por 2;

Ahora tenemos dos fracciones equivalentes a las primeras, pero con el mismo denominador.

En la escena adjunta puedes introducir dos fracciones diferentes modificando los controles a, b, c y d. Después debes calcular en tu cuaderno el mínimo común múltiplo de los denominadores y reducir las fracciones a denominador común.

Una vez hecho esto, introduce el valor del mcm en el control correspondiente y pon el control solución a 1 para comprobar el resultado.

Ejercicio 4

Reduce a común denominador las fracciones:

a) 5/4 y 7/18             b) 7/3 y 8/27         c) 4/7 y 5/14       d) 3/100 y 5/4

Comprueba tus resultados en la escena anterior.

Repite el ejercicio con las parejas de fracciones que tú quieras.

4. Comparación de fracciones.
Introduce en esta escena las fracciones 3/9 y 7/9, que tienen el mismo denominador (los denominadores en los botones inferiores, los numeradores arrastrando con el ratón los puntos A y B).
¿Cuál es mayor?
Ahora introduce las fracciones 3/4 y 3/7, que tienen el mismo numerador. ¿Cuál es mayor?
De dos fracciones con el mismo denominador es mayor la de numerador mayor
De dos fracciones con el mismo numerador es mayor la de denominador menor

Para comparar dos fracciones que no tienen igual ni numerador ni denominador, se reducen a común denominador y luego se comparan aplicando la regla anterior.

Otra posibilidad es pasar ambas fracciones a forma decimal y comparar los números resultantes. Volveremos sobre esto más adelante.

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  Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001
 
 

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