COORDENADAS DUN VECTOR
1° BAC_CIENCIAS E TECNOLOXÍA
 
1. COORDENADAS DUN VECTOR

a) Calquera vector v pódese pór como combinación lineal (C.L.) de outros dous x e y de distinta dirección.

v = ax + by

Sendo a e b números reais(escalares)

b) Esta C.L. é ÚNICA, é dicir, dados x, y e v, só existe un par de números a e b que cumpren a igualdade anterior.

c) Observa tamén que os propios vectores x e y pódense pór como C.L. deles mesmos:

x = 1.x + 0.y

 y = 0.x + 1.y

d) Dous vectores x, y, con distinta dirección, forman unha base, pois calquera vector do plano pódese pór como C.L. deles.

e) Se os vectores da base son perpendiculares entre sí, díse que forman unha base ortogonal e se, ademáis, teñen módulo 1, díse que forman unha base ortonormal.

Base ORTOGONAL

x ^ y  

Base ORTONORMAL

x ^ y   ;  |x| = 1; |y| = 1

f) Calquera vector do plano, v, pódese pór como C.L. dos elementos dunha base B(x,y) de forma única: v = ax + by
Aos números (a,b) chámaselles coordenadas de v respecto de B, e exprésase así: v(a,b) ou ben v = (a,b)

Exemplo:
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Nesta escena temos a base ortogonal B(x,y) y o vector z, que en principio ten de coordenadas (2,3) respecto de dita base, xa que   z = 2x + 3y 

Cambiando os valores de a e b podes ver as distintas coordenadas que van tendo os distintos vectores  z e a C.L. de x e y que nos dá z, pois  z = ax + by

Representa os vectores de coordenadas: 
(-2, -3)  (1, 1)  (1, -1)
(0.5, 2)  (-1, 2.5)  respecto da base B(x,y)
EXERCICIO 1

Acha as coordenadas do vector x respecto da base B(u,v)

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. a) Hai que formar un paralelogramo coas prolongacións dos vectores u e v (Variando a e b), de tal forma que x sexa unha diagonal do mesmo. 

Por tanto esta vez, convenche prolongar u no sentido oposto, ou sexa o de -u, e v no seu mesmo sentido. 

b) A continuación tes que trazar paralelas a u e v dende o extremo de x, A, para completar o paralelogramo. 

c) Escribe no teu caderno x como C.L. de u e v
d) Escribe as coordenadas de x respecto da base B(u,v)
2. OPERACIÓNS CON COORDENADAS
a) SUMA: Comproba na seguinte escena como se suman as coordenadas dos vectores respecto da base ortonormal B(x,y)
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

u = (-2,3)

v = (5,2)

u + v = (-2+5,3+2) = (3,5)
Move co rato os extremos de u e/o v para comprobar a suma para outras coordenadas.

Por exemplo se u=(-4,0) e v=(4,3) 

Cales son as coordenadas de u+v?
b) COMBINACIÓN LINEAL: Comproba coa escena que ven a continuación, como se obteñen as coordenadas da C.L. de dous vectores respecto da base ortonormal B(x,y)
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. Cambiando os valores de a e b, debuxa o vector  
1.5u + 2v 

Neste caso temos: 
1.5u + 2v = 
1.5(-2,2)+2(-3,-1)= 
(-3,3) + (-6,-2) = 
(-3-6, 3-2) = 
(-9,1) 

Este resultado pódelo ver na escena, se fas a=1.5 e b=2 

Fíxate ben no debuxo dos vectores para comprobar as súas coordenadas!
EXERCICIO 2

a) Calcula no teu cuaderno as coordenadas, respecto da base B(x,y), dos vectores: 

-u -v 2u - 1.5v -1.5u + v 0.4u + 0.3v

Sendo u e v os vectores da escena anterior, ou sexa u(-2,2) e v(-3,-1) 

b) Compróbao despois cambiando a e b, segundo conveña, na escena anterior. 

c) Podes calcular outras combinacións lineais que ti queiras e comprobar os resultados na escena.
           
           
  Ángela Núñez Castaín (Modificada por Ana Isabel Gómez López)
 
© Ministerio de Educación, Política Social e Deporte. Ano 2008
 
 


Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.