Vectores6

	PRODUTO ESCALAR
	1° BAC_CIENCIAS E TECNOLOXÍA

1. PRODUTO ESCALAR DE DOUS VECTORES

u . v = |u| . |v| . cos (u,v)

Produto dos seus módulos polo coseno do ángulo que forman

¡Atención! |u|, |v| e cos (u,v) son números. O produto u . v é un número. De ahí lle ven o nome, pois escalar significa número. Ou sexa o resultado do produto escalar de dous vectores NON é un vector, é un número.

NOTA: A partir de agora imos considerar sempre que as coordenadas de todos os vectores están referidas á base ortonormal B(x,y), sendo as compoñentes de x(1,0) e as de y(0,1). Recordas que nome recibe esta base?

Na escena seguinte podes mover co rato os extremos dos vectores u e v, verás como vai cambiando o |u|, o |v|, o ángulo que forman A, e o seu coseno. Por último verás o produto escalar dos dous vectores, ou sexa u.v

2. PROPIEDADES DO PRODUTO ESCALAR

1.- Comproba que se u=0 ou v=0, entón u.v=0

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

2.- Comproba que se u é perpendicular a v, u.v=0, sendo u ¹ 0 e v ¹ 0, pois entón A=90º, e o cos90º=0

3.- Propiedade conmutativa
u.v = v.u

4.- Propiedade asociativa
a(u.v) = (au).v
a=número
u=vector
v=vector

5.- Nunha base ortonormal B(x,y) ou sexa x=(1,0) y=(0,1) cúmprese

x.x = 1	Para comprobalo pón na escena anterior u = x = (1,0) v = x = (1,0)
y.y = 1	Para comprobalo pón na escena anterior u = y = (0,1) v = y = (0,1)
x.y = y.x = 0	Para comprobalo pón na escena anterior u = x = (1,0) v = y = (1,0)

6.- v.u = |v|.(|u|.cos (a)) = |v|.(proxección de u sobre v)

de onde:

proxección de u sobre v =

vectores6_2.gif (1687 bytes)

7.- Propiedade distributiva:

u. (v + w) = u.v + u.w

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Movendo os extremos dos vectores u, v e w, podes comprobar esta propiedade

3. EXPRESIÓN ANALÍTICA DO PRODUTO ESCALAR

Se as coordenadas dos vectores u e v respecto a unha base ortonormal son:

u (u₁,u₂)

v(v₁,v₂)

o produto escalar queda así:

u.v = u₁.v₁ + u₂.v₂

Podes comprobalo na escena seguinte, movendo os extremos dos vectores u e v (ou cambiando os valores das coordenadas nos botóns inferiores), vendo o valor das coordenadas e do produto escalar u.v

EXERCICIO 1

Comproba as propiedades 1 e 2 do produto escalar:

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

a) Move o extremo de u ata que as coordenadas sexan (0,0), ou ben introduce os valores (0,0) nos botóns inferiores da escena, para comprobar a propiedade1.

b) Despois de dar ao botón inicio, anota no teu caderno as coordenadas de u e v e as operacións necesarias para obter o produto escalar u.v

c) Cos botóns inferiores da escena, cambia as coordenadas dos vectores para que sexan perpendiculares.

d) Anota no teu cuaderno as coordenadas elixidas e o cálculo do produto escalar u.v

4. MÓDULO DUN VECTOR

v.v = \|v\|.\|v\|.cos (v,v) = \|v\|².cos 0 = \|v\|².1 = \|v\|²	Polo tanto:
Se as coordenadas de v son (v₁,v₂)	v.v = v₁.v₁ + v₂.v₂ = v₁² + v₂²
Recorda que se o módulo vale un, o vector recibe o nome de vector unitario, todo vector pode ser unitario sen máis que dividilo polo seu módulo.

5. COSENO DO ÁNGULO DE DOUS VECTORES

Da definición de produto escalar: u.v = \|u\|.\|v\|.cos(u,v)	dedúcese que:
E mediante as coordenadas:

EXERCICIO 2

Cos vectores u e v da escena do EXERCICIO 1 xa vimos canto valía u.v, calcula agora no teu cuaderno:
a) |u|

b) |v|

c) cos (u,v) e o ángulo (u,v)

d) Canto ten que valer x para que v(x,2) sexa ortogonal a u? Observa a relación entre as coordenadas de u e este vector ortogonal a el.

As solucións a este exercicio pódelas comprobar na escena seguinte:

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

	Ángela Núñez Castaín (Modificada por Ana Isabel Gómez López)

	© Ministerio de Educación, Política Social e Deporte. Ano 2008

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.