SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA |
1. Contenidos
1. Teorema de Thales.
2. Polígonos semejantes.
3. Semejanza de triángulos.
4. Trazado de polígonos semejantes.
5. Escalas.
6. Razones trigonométricas de un ángulo.
7. Las razones de los ángulos 30º, 45º y 60º.
8. Aplicaciones de la trigonometría.
2. Enlaces
Trabajaremos este tema a través de
Algunos apartados de una serie de Unidades Didácticas de Descartes
Semejanza (4º ESO-A) |
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_aplicaciones/index.htm
Proporcionalidad geométrica (4º ESO) |
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Proporcionalidad_geometrica/index_Propor.htm
Actividades sobre el teorema de Thales (2º ESO) |
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ac_thales/index.htm
Triángulos semejantes (4º ESO-A) |
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Triangulos_semejantes/index.htm
Semejanza y homotecia (4º ESO-B) |
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote2.htm
Ejercicios de trigometría (1º Bach. CC.N.S. o Tecnológico) |
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/indice.htm
3. Semejanza
3.1.
Teorema de
Thales.
Pincha
en el enunciado de este apartado.
Lee
atentamente y juega
un poco con la escena que aparece, observa los valores calculados en ella y
intenta extraer alguna conclusión. |
En
tu cuaderno:
·
Realiza un dibujo similar al de la escena (nombrándola
igual) y copia el primer enunciado del teorema de Thales que aparece. |
Copia
en tu cuaderno:
De OA/OA' = OB/OB'
deducimos OA · OB' = OB · OA' (producto de medios = producto de
extremos) y de aquí OA/OB = OA'/OB' Obtenemos así
otra forma de enunciar el Teorema de Tales: Teorema de
Thales (Segundo enunciado): Cuando dos rectas secantes son
cortadas por una serie de paralelas, la razón entre dos segmentos de una de
las rectas es igual a la razón entre los segmentos correspondientes de la
otra recta. En el caso de
la escena: OA/OB = OA'/OB'; AB/OB = A'B'/OB'; etc. |
3.2.
Polígonos
semejantes
Copia
en tu cuaderno:
Intuitivamente: Dos figuras
son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño.
Particularmente, dos polígonos
serán semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. Matemáticamente: dos polígonos
con el mismo número de lados son semejantes cuando tienen los
ángulos correspondientes iguales y las longitudes de todos los lados de uno
son directamente proporcionales a las longitudes de los lados del otro. |
Pincha
en el enunciado de este apartado.
Lee atentamente el apartado 2 y juega un poco
con la escena que aparece; mueve cualquiera de los vértices del pentágono
verde y observa como se trasforma de forma semejante azul. |
En
tu cuaderno:
Realiza un dibujo similar al de la escena, copia la teoría
que aparece en este apartado y realiza las actividades 8,9,10 y 11. |
3.3. Trazado de
polígonos semejantes
Pincha
en el enunciado de este apartado.
Lee atentamente. Juega un poco con la escena tal y como
se indica en el cuadro que aparecen a su derecha . |
En
tu cuaderno:
Realiza las actividades 4, 5 y 6, haciendo los dibujos
necesarios. |
3.4. Semejanza de triángulos
Pincha
en el siguiente enunciado.
Uso del
teorema de Thales en el estudio de los triángulos.
Lee atentamente. Juega un poco con la escena tal y como
se indica en primer cuadro que aparecen a su derecha . |
En
tu cuaderno:
Realiza un dibujo similar al de la escena, copia la teoría
que aparece en este apartado y realiza las actividades 9 y 10. |
3.5.
Ejercicios de
aplicación del teorema de Thales y de semejanza de triángulos
Pincha
en el enunciado de este apartado.
Pincha en cada uno de los apartados que aparecen en la
escena y observarás que aparecen ejercicios sobre el teorema de Thales y
semejanza de triángulos. |
En
tu cuaderno:
Si pinchas en cada uno de los enunciados que aparecen en
la tabla se abrirá una escena que te planteará una serie de actividades.
Copia y realiza todas las que aparecen en el primer recuadro que aparece
(cómo medir alturas inaccesibles, ¿a qué distancia está el barco?, ..., instrumento de medidas indirectas) y
la primera que aparece en el segundo (distancia entre dos árboles). |
3.6.
Escalas.
Copia
en tu cuaderno:
Intuitivamente: Realizar una figura a escala es hacer un
dibujo o maqueta en la que se muestren su forma aunque utilizando dimensiones
más pequeñas. Matemáticamente: se
llama escala a la razón entre las medidas lineales del dibujo y
las de la realidad, es decir, la razón de semejanza entre el objeto real y el
dibujo. |
|
|
En los mapas a veces se utiliza la escala gráfica que
consiste en un segmento graduado sobre el cual se escriben las distancias
reales representadas por cada división del segmento. |
Pincha
en el enunciado de este apartado.
Pincha los últimos apartados que aparecen en la escena;
aquellos hacen referencia a escalas. |
En
tu cuaderno:
Copia y realiza todas las actividades a las que he hecho
referencia anteriormente (¿Cuál es la escala? (CASA), ¿Cuál es la escala?
(POLÍGONO), ¿Cuánto vale la escala de la foto?, porcentaje y reducción de la
escala). |
3.7. Relación
entre longitudes, áreas y volúmenes de figuras semejantes
Copia
en tu cuaderno:
Las longitudes de los segmentos correspondientes en dos
figuras semejantes (lados, diagonales, apotemas, alturas, radios,
perímetros,...) aumentan (o disminuyen) en la misma proporción que los lados;
en otras palabras: su razón o cociente coincide con la razón de semejanza, r. |
La razón o cociente entre las áreas de dos polígonos
semejantes coincide con el cuadrado de la razón de semejanza. |
La razón o cociente entre las volúmenes de dos polígonos
semejantes coincide con el cubo de la razón de semejanza. |
Pincha
en el enunciado de este apartado.
Pincha los dos últimos recuadros que aparecen en la
escena; aquellos hacen referencia a escalas, longitudes y áreas. |
En
tu cuaderno:
Copia y realiza todas las actividades a las que he hecho
referencia anteriormente (Escalas, longitudes y áreas, áreas de triángulos y
trapecios). |
4. Trigonometría
4.1.
Razones trigonométricas de un ángulo
Pincha
en el siguiente enunciado.
Razones
trigonométricas de un ángulo agudo. Definición.
Lee atentamente cómo se obtienen las razones
trigonométricas directas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Pincha en el botón “ OTRAS RAZONES”, aparecerán las
razones trigonométricas inversas. Pincha en el botón “EJEMPLOS”, aparecerá una nueva escena.
En ella, pinchando en el botón: ·
“EJERCICIO”, aparecen varios
ejemplos de cálculo de las razones trigonométricas directas. ·
Si pinchas, a su vez, en el botón
“OTRAS RAZONES” aparecen los valores de las razones trigonométricas inversas
correspondientes. ·
Si pinchas, a su vez, en el botón
“ÁNGULO” aparecen los valores de las razones trigonométricas correspondientes
de los dos ángulos agudos del triángulo. |
En
tu cuaderno:
·
Copia las definiciones de las
razones trigonométricas que aparecen en la escena principal y las razones trigonométricas inversas que
aparecen al pinchar en el botón “ otras razones”. ·
Copia dos ejemplos de los que
aparecen. |
Pincha
en el siguiente enunciado.
En la escena que aparece, pincha en el botón “
AUTOEVALUACIÓN”. Mueve los cursores para elegir el número de ejercicios (al
menos 5) y el porcentaje de ejercicios con razones trigonométricas inversas
(50%), luego pincha sobre
“EJERCICIO”. En la nueva escena que aparece, te puedes ayudar pinchando
en “FÓRMULAS”. |
En
tu cuaderno:
·
Copia y realiza los ejercicios. ·
Una vez resuelto cada ejercicio, coloca el numerador y
denominador del resultado obtenido; pincha en solución para comprobar los
resultados. ·
Indica en número de ejercicios
realizados y el número de aciertos obtenidos. Hacer los necesarios para
dominarlos. |
Pincha
en el siguiente enunciado.
Razones
trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Lee atentamente. Pincha en el botón “signo de las razones trigonométricas”.
Obtendrás el signo dependiendo del cuadrante donde se encuentre el ángulo. I = Primer cuadrante ( 0º,90º) II = Segundo cuadrante ( 90º, 180º) III = Tercer cuadrante ( 180º,270º) IV = Cuarto cuadrante ( 270º, 360º) |
En
tu cuaderno:
·
Copia las definiciones y teoría de
este apartado. |
4.2.
Las razones trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º
Copia
en tu cuaderno:
Página 104 del libro. |
En
tu cuaderno:
·
Calcula las razones
trigonométricas inversas de 30º, 45º y 60º. |
4.3.
Uso de la calculadora en Trigonometría
Copia
en tu cuaderno:
Las instrucciones explicadas en clase sobre el uso de la
calculadora. Puedes consultar también las páginas 105 y 106 del libro de
texto. |
4.4. Aplicaciones de la
Trigonometría
4.4.1. Resolución de
triángulos rectángulos
En
este subapartado vamos a resolver un triángulo rectángulo, es decir, vamos a
encontrar los medidas de los ángulos ó de los lados de un triángulo rectángulo
a partir de unos datos dados.
Pincha
en el enunciado de este subapartado.
·
Pincha en el botón “ hallar” para
elegir cálculo de ángulos o de lados. ·
A continuación pincha en
“EJERCICIO” para ver una serie de ejercicios resueltos. ·
Copia al menos un ejemplo de cada
tipo ( uno de cálculo de ángulos y otro de cálculo de lados). ·
Pincha en el botón
“AUTOEVALUACIÓN”, aparecerá una nueva escena. Elige en números de ejercicios
5 y pincha en “EJERCICIO”. |
En
tu cuaderno:
·
Copia dos ejemplos indicados
anteriormente. ·
Copia y realiza los ejercicios. ·
Una vez resuelto cada ejercicio, coloca el resultado obtenido;
pincha en solución para comprobar los resultados. ·
Indica en número de ejercicios
realizados y el número de aciertos obtenidos. Hacer los necesarios para
dominarlos. |
4.4.2. Resolución de
triángulos isósceles
En
este subapartado vamos a resolver un triángulo isósceles, es decir, vamos a
encontrar los medidas de los ángulos ó de los lados de un triángulo a partir de
unos datos dados.
Pincha
en el enunciado de este subapartado.
·
Pincha en el botón “ hallar” para
elegir los ejercicios en función de los datos que te pidan. A continuación pincha en “EJERCICIO” para ver una serie de
ejercicios resueltos. ·
Copia al menos un ejemplo de cada
tipo. ·
Pincha en el botón
“AUTOEVALUACIÓN”, aparecerá una nueva escena. Elige, en números de
ejercicios, 5 y pincha en “EJERCICIO”. |
En
tu cuaderno:
·
Copia un ejemplos de cada tipo indicados anteriormente. ·
Copia y realiza los ejercicios. ·
Una vez resuelto cada ejercicio,
coloca el resultado obtenido; pincha en solución para comprobar los
resultados. ·
Indica en número de ejercicios
realizados y el número de aciertos obtenidos. Hacer los necesarios para
dominarlos. |
4.4.3. Problemas
En
este subapartado vamos a resolver problemas a través de resultados de la
trigonometría.
Pincha
en el enunciado de este subapartado.
·
Pincha en el botón “ APLICACIÓN”
para elegir los distintos tipos de problemas que se plantean. ·
A continuación pincha en
“EJERCICIO” para ver una serie de problemas resueltos de cada tipo. ·
Copia al menos un ejemplo de cada
tipo. ·
Pincha en el botón
“AUTOEVALUACIÓN”, aparecerá una nueva escena. Elige, en números de
ejercicios, 10 y pincha en “EJERCICIO”. |
En
tu cuaderno:
·
Copia un ejemplos de cada tipo indicados anteriormente. ·
Copia y realiza los problemas. ·
Una vez resuelto cada problema,
coloca el resultado obtenido; pincha en solución para comprobar los
resultados. ·
Indica en número de ejercicios
realizados y el número de aciertos obtenidos. Hacer los necesarios para
dominarlos. |
ENCUESTAS |
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