FRACCIONES GENERATRICES Y PROGRESIONES

FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL

Dado un número decimal, podemos hallar una fracción tal que al dividir el numerador por el denominador se obtenga como cociente dicho decimal.

Dicha fracción se llama fracción generatriz del número decimal dado.

Distinguiremos tres casos:

• PRIMER CASO:

  Cuando el decimal es limitado.

N = 3,47 = 3+0,47 = 3+47/100 = 300/100+47/100 = 347/100

Halla la fracción generatriz de:

• 0.004
• 0.00001
• 3.25
• 2.3
• 0.025
• -3.7
• -0.6

• SEGUNDO CASO:

  Cuando el decimal es periódico puro.

N = 0,252525... = 0,25+0,0025+0,000025+... = 25/100+25/10000+25/1000000+... = 25/100+25/100²+25/100³+...

Suma infinita de una progresión geométrica de a₁=25/100 y r=1/100, con |n|<1, por lo que podemos aplicar: S_inf = a₁/1-r

N = a₁/1-r = (25/100) / (1-1/100) = (25/100) /( 99/100) = 25/99

Halla la fracción generatriz de:

• 5.222...
• 3.2727...
• 0.0101...

• TERCER CASO:

  Cuando el decimal es periódico mixto.

N = 3,2555... = 3,2+0,0555...= 3,2+0,05+0,005+0,0005...= 3,2+5/100+5/1000+5/10000+...= 3,2+5/10²+5/10³+5/10⁴+...

N=3,2+(Suma infinita de una progresión geométrica de a₁= 5/100 y r = 1/10, con |n|<1. S_inf = a₁/1-r).

N=3,2+(a₁/1-r) = 3,2+[(5/100 / (1-1/10)] = 3,2+[(5/100) / (9/10)] = 3,2+50/900 = 3,2+5/90 = 3,2+1/18 = 32/10+1/18 = 293/90

Halla la fracción generatriz de:

• 4.3888...
• 0.0111...

 

Reflexionemos:

¿2.111…=2.1?, ¿Porqué?

¿0.999…=1?, ¿Porqué?

Autor: Juan Jiménez