Supongamos que todo nuestro capital es 1 € y queremos sacarle el máximo rendimiento financiero invirtiéndolo en un banco al 100% anual.
Al cabo de un año, ¿cuánto dinero obtendríamos?
Al cabo de un año obtendríamos el 100% del capital que depositamos, es decir 1 €.
Luego, tendremos 1+1= 2 €.
Somos pobres pero ambiciosos e impacientes y queremos sacarle el máximo rendimiento a nuestra "fortuna".
Se nos ocurre que podríamos invertir nuestro dinero no a 1 año sino a 6 meses, a rédito constante, para no tener que esperar tanto a obtener dividendos.
Al cabo de 6 meses, ¿cuánto dinero obtendríamos?
Si en 1 año hubiésemos obtenido el total de nuestro capital, es decir, 1 €, en medio año obtendríamos la mitad, es decir 1/2 €. Obtenemos, pues, 1+1/2=1.5 €.
Si para no perder el tiempo reinvertimos nuestro capital en las mismas condiciones - 6 meses, 100% anual- volveremos a obtener la mitad de lo invertido, es decir, la mitad de 1.5 €, es decir, 0.75, que junto con la cantidad que invertimos nos da 2.25 € en un año.
Recopilemos:
Tiempo: 1 año
Capital: 1 €
Interés anual: 100%, es decir, 1 €
Capital al cabo de 1 año: 1+1= 2 €
Tiempo: 6 meses
Capital: 1€
Interés anual: 100%, es decir, 0.5€ a los 6 meses, la mitad puesto que 6 meses es la mitad de un año.
Capital al cabo de 6 meses: 1+0.5=1.5 €
Ahora reinvertimos:
Capital: 1.5 €
Interés anual: 100%, es decir, 0.75 a los 6 meses, la mitad puesto que 6 meses es la mitad de un año.
Capital al cabo de 1 año: 1.5+0.75 = 2.25€
¡Hemos conseguido hacer rendir nuestro capital 0.25 € más que por el primer método¡
Impresionados por nuestro olfato para los negocios decidimos exprimir al máximo nuestras posibilidades dispuestos a hacernos millonarios con 1€.
¿Y si hiciéramos imposiciones cuatrimestrales?
Tiempo: 4 meses
Capital: 1€
Interés anual: 100%, es decir, 1/3 € a los 4 meses, la tercera parte puesto que 4 meses es la tercera parte de un año.
Capital al cabo de 4 meses: 1+1/3 = 4/3 =1.333...= 1.33€
Ahora reinvertimos:
Tiempo: 4 meses
Capital: 1.33€
Interés anual: 100%, es decir, 1/3 de 4/3€ a los 4 meses.
Capital al cabo de 8 meses: 4/3 + (1/3 · 4/3)=4/3·(1+1/3)=4/3·4/3=16/9=1.777....=1.78€
Ahora volvemos a reinvertir:
Tiempo: 4 meses
Capital: 1.78€
Interés anual: 100€, es decir, 1/3 de 1.78€
Capital al cabo de 1 año: 1.78+1/3 · 1.78=16/9+1/3 · 16/9=16/9(1+1/3)=16/9·4/3=2.370370...
¡De nuevo obtenemos más que antes! ¡Vamos camino a nuestro primer millón de euros!
Formalicemos:
Al año:
Capital: 1€
Interés:1€
Capital total:2€
Al semestre: (2 veces al año)
Capital: 1€
Interés 1r semestre: 1/2€
Capital 1r semestre: 1+1/2€
Interés 2º semestre:1/2(1+1/2)
Capital 2º semestre: (1+1/2)+1/2(1+1/2)=(1+1/2)·(1+1/2)=(1+1/2)2 =2.25 €
Al cuatrimestre: (3 veces al año)
Capital: 1€
Interés 1r cuatrimestre:1/3€
Capital 1r cuatrimestre: 1+1/3€
Interés 2º cuatrimestre: 1/3(1+1/3)
Capital 2º cuatrimestre: (1+1/3)+1/3(1+1/3)=(1+1/3)·(1+1/3)
Interés 3r cuatrimestre: 1/3[(1+1/3)·(1+1/3)]
Capital 3r cuatrimestre:[(1+1/3)·(1+1/3)]+1/3[(1+1/3)·(1+1/3)]=[(1+1/3)·(1+1/3)]·(1+1/3)=(1+1/3)3 =2.37€
¿Y si hiciéramos imposiciones trimestrales? (4 veces al año)
Como un trimestre es la cuarta parte de un año: (1+1/4)4 =2.44€
¿Y si hiciéramos imposiciones bimestrales? (6 veces al año)
Como un bimestre es la sexta parte de un año: (1+1/6)6 =2.52€
¿Y si hiciéramos imposiciones mensuales? (12 veces al año)
(1+1/12)12 =2.61€
¿Y si hiciéramos imposiciones diarias? (365 veces al año)
(1+1/365)365 =2.71€
¿Y si hiciéramos imposiciones cada hora? (8760 veces al año)
(1+1/8760)8760 =2.718126692...€
¿Y si hiciéramos imposiciones cada minuto? (525600 veces al año)
(1+1/525600)525600 =2.7181279243...€
¿Y si hiciéramos imposiciones cada segundo? (34536000 veces al año)
(1+1/34536000)34536000 =2.718281793...€
¡Decepcionante!. Está claro que no nos haremos millonarios. El patrón que estamos siguiendo es:
limn-->inf (1+1/n)n = e = 2.718281828...
Autor: Juan Jiménez
