NÚMEROS COMPLEJOS
Álgebra
 
7. OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR
          7.1. Multiplicación
Sólo tienes que mirar esta escena para deducir cómo se multiplican complejos en forma polar
 
r   · r'   = (r·r')  
+

Se multiplican los módulos

Se suman los argumentos.

EJERCICIO 11

Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

315º · 275º

z1=460º por su conjugado

z2=3150º por su opuesto
          7.2. Potencia

Como ya sabes, la potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar.

Puedes verlo en esta escena, donde r es el módulo del número complejo z, A, su argumento y n el exponente al que elevamos z.

Recuerda que si alguna imagen se sale de la escena, puedes cambiar la escala o mover los ejes con los botones de la parte superior. Aunque en el caso de la potencia puede ocurrir que el módulo resultante sea tan grande que no puedas llegar a verlo por completo, pero aparecerá su valor en la escena.
 
( r   )n= (rn)  
n·

El módulo se eleva a n

El argumento se multiplica por n

 
En el inicio, pulsa el botón de n, para darle los valores 1, 2, 3,...e irás viendo las distintas potencias del números complejo 
z=(1,1)30º esto es, para hallar z1, z2, z3,...

EJERCICIO 12

Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

Al cambiar el módulo y el argumento respecto a los iniciales, puedes dar al botón limpiar para eliminar los valores iniciales.
a) (1.560º)4 b) (390º)2 c) (2120º)3 d) (145º)7
         7.3. División
Sólo tienes que mirar esta escena para deducir cómo se dividen complejos en forma polar

Se dividen los módulos

Se restan los argumentos.

EJERCICIO 13

Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

5150º : 230º 

6225º : 375º 

z1=4340º dividido por su conjugado

z1=350º dividido por su opuesto
          7.4. Fórmula de Moivre
Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada fórmula de Moivre:            (cos + i sen )n = cos(n) + i sen(n)

que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos(n) y sen(n) en función de sen y  

 EJERCICIO 14

Deduce la fórmula de Moivre aplicando la fórmula de la potencia al número complejo de módulo 1 y argumento .

 
 
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  Ángela Núñez Castaín
 
© Ministerio de Educación, Política Social y Deporte. Año 2001