Caracol de Pascal


I.- Caracol de Pascal

El verdadero nombre de esta curva es Limašon de Pascal ( limašon viene del latín limax que significa caracol). El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la uso como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes.

Para obtener el caracol de Pascal procedemos de la siguiente manera.

  1. Tomamos un punto P en la circunferencia (turquesa) y un punto O cualquiera del plano (en nuestro caso el origen de coordenadas).
  2. Trazamos la recta tangente a la circunferencia por P.
  3. Trazamos una recta perpendicular a la tangente anterior que pase por el punto O.
  4. Llamamos Q al punto de intersección de las dos rectas anteriores.
  5. El lugar geométrico de los puntos Q del plano que se obtienen al mover P sobre la circunferencia se llama Caracol de Pascal.

La ecuación del Caracol de Pascal es la siguiente:

Dos observaciones :

  1. El valor de b es el radio de la circunferencia turquesa.

  2. El centro de la circunferencia es 2*a.

Manipula la escena y observa los cambios que se producen.

  1. Mueve el punto P sobre la circunferencia y observa como el punto Q va recorriendo toda la Curva de Pascal.

  2. Puede cambiar los valores de a y b en los controles inferiores, y observar como cambia la forma de la Curva de Pascal.

 

II.- El Caracol de Pascal como Trisectriz.

Cuando  a= b el caracol de Pascal se conoce como Trisectriz, pues con su ayuda se puede trisecar un ángulo, (lástima que el caracol de Pascal no se pueda dibujar con regla y compás)

a) Trisección de un ángulo agudo usando la Trisectriz.

NOTACIÓN: Entenderemos por ángulo(AOB)  al ángulo mas pequeño que se puede definir con los vértices A, O y B siendo O el vértice.

Para ver como la Trisectriz obtenida a partir del Caracol de Pascal proporciona la trisección del ángulo, modifica la siguiente escena, usando los siguientes elementos:

  1. Mueve el punto Q para tener diferentes posiciones sobre la curva, lo cual nos proporcionará diferentes ángulo(BAQ).

  2. Cambia los parámetros a y b para comprobar que el único Caracol de Pascal que sirve para trisecar un ángulo es el que tiene a=b en particular se puede trabajar con a=b=1.

En la siguiente escena debes cambiar el ángulo y obtendrás su trisección en el ángulo(OQA) pues en este caso a=b


 

                                                       

Pedro González Enríquez. Curso 2004-2005.
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte., Educación. Año 2005  

 
 

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