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	Teorema del valor medio del Cálculo Integral
	Análisis

1. ENUNCIADO DEL TEOREMA.

Sea una función real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica:

El valor f (c) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el intervalo [a,b].

Quizá sea interesante hacer varias observaciones:

1) El punto c puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad.

2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.

3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el cálculo de una integral definida. Dicho cálculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando métodos numéricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integración sencilla.

2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIÓN DETERMINADA

Vamos a estudiar la aplicación del teorema a una función concreta. Para una primera aproximación vamos a escoger una función que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hipótesis de nuestro teorema.

La función objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:

Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como varía el valor medio de la función y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La función con la que estamos trabajando es simétrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea único.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la función en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular.

Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser más pequeño que el extremo b.
En cualquier caso, si te equivocases, aparecería un mensaje de error.

3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES

Vamos a considerar ahora la aplicación del teorema a un tipo diferente de funciones. Aquí el punto en el que se alcanza el valor medio es único ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, también con dominio en todos los números reales y fácilmente integrables, se caracteriza por su monotonía. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuación general

en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [-0.5 , 0.5], lo que hace que la función pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una función constante el teorema carece de interés.

En la escena anterior la función era definida positiva y por tanto también lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos según los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido.

El control k permite variar la función exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada función que representes

4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Y DEMOSTRACIÓN

La demostración del teorema se basa en propiedades previas de la integral definida y de las funciones continuas. Al ser f(x) continua en el intervalo alcanza en él un mínimo, m, y un máximo M. La integral definida verifica que:

lo que también puede expresarse como

Ahora bien, toda función continua alcanza cualquier valor intermedio entre el mínimo y el máximo. Por tanto existe al menos un punto c del intervalo en el que se verifica el teorema.

En el caso de que la función con la que trabajemos sea definida positiva el teorema tiene una sencilla interpretación geométrica.

El control "Paso" te permite "ver" el teorema geométricamente. Partes de una función, tomas un intervalo, calculas la integral definida y el valor medio y observas que:

El área bajo la curva entre los límites definidos por el intervalo, la superficie de color naranja, equivale a la del rectángulo que tiene de base el propio intervalo, b-a, y de altura el valor medio obtenido f(c)

José Alberto Berriochoa Esnaola


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005

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