Discusión analítica y gráfica de los sistemas de dos y tres ecuaciones lineales con dos incógnitas
	Algebra

Conceptos:

Ecuación lineal: es una ecuación polinómica de grado uno, con una o varias incógnitas.

Ecuaciones equivalentes: cuando tienen la misma o las mismas soluciones.

  Para hacer ecuaciones equivalentes podemos multiplicar o dividir por un número distinto de cero los dos miembros de la ecuación; así obtenemos una ecuación equivalente a la ecuación dada.

Sistemas de ecuaciones lineales: varias ecuaciones dadas para determinar la solución o soluciones comunes a todas ellas forman un sistema de ecuaciones.

    Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un conjunto de rectas; su resolución consiste en averiguar si todas ellas tienen un punto en común y localizarlo.

    Sistemas de ecuaciones equivalentes: dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que lo forman.

    Un sistema de ecuaciones pude tener solución, ser compatible; o no tener solución, ser incompatible.

    Los sistemas compatibles pueden tener una solución; y se llaman compatibles determinados o tener infinitas soluciones; entonces se llaman compatibles indeterminados

1º- Discusión analítica de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

          ( Se ha de  tener en cuenta que en el caso de fracciones como coeficientes utilizaremos el mínimo común múltiplo).

    Dado un sistema de ecuaciones formado por dos rectas:  a*x + b*y = c

                                                                                         d*x + e*y = f

podemos establecer cómo son ambas rectas entre sí, y a la vez clasificar el sistema; con sólo saber:

•     a/d = b/e = c/f    ambas rectas son coincidentes y por tanto el sistema es compatible indeterminado;       tiene  infinitas soluciones.

•     a/d = b/e  #  c/f    ambas rectas son paralelas y por tanto el sistema es incompatible; no tiene solución

•     a/d  # b/e    ambas rectas  se cortan entre sí, por tanto el sistema es compatible determinado. Sólo tiene una solución.

 En esta escena se pueden observar los pasos que se han de realizar para la discusión de las soluciones de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.  Para ello nos ayudaremos del control "pasos" ;  daremos valores para a, b, c, d, e y f; así con un caso concreto y siguiendo los pasos 1,2, y 3. ¿Podrías explicar qué ocurre en cada paso?

    Junto con los dos sistemas del apartado anterior, practica con:

* 0.5x + y=2        *-0.8x + 2y=1           * 0.3x - y=3

   x + 2y= 3           -x + 2.5y= 1.25          0.3x - 2y=1

 2º-  Resolución por reducción de un sistema de dos ecuaciones  y dos incógnitas.           

    Para trabajar esta escena hemos de recordar el método de reducción; para ello vamos ha recordarlo con un ejemplo:

3*x + 5*y =5

2*x + 3*y =4      

    En un primer paso hacemos que la incógnita x tenga los mismos coeficientes en las dos ecuaciones, multiplico la primera por 2 y la segunda por 3; así obtenemos:

6*x +10*y =10

6*x + 9*y=12

    Restamos segunda ecuación menos primera

-y= 2

    Una vez que he obtenido y sustituyo este valor en la primera ecuación.

  En esta escena se pueden observar los pasos que se han de realizar ara la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.  Para ello nos ayudaremos del control "pasos" ;  daremos valores para a, b, c, d, e y f; así con un caso concreto y siguiendo los pasos 1,2, y 3. ¿Podrías explicar qué ocurre en cada paso?

   ( Se ha de  tener en cuenta que en el caso de fracciones como coeficientes utilizaremos el mínimo común múltiplo)

    Estudia ahora los casos siguientes:

 *   0.5x + y=2           *-0.4x + 2y=1

      2x + 0.6y=1           -x -y=2

    Siguiendo los pasos comprueba que el punto de corte es el que se obtiene en el paso 3; indica el valor de x en cada caso.

 3º- Discusión gráfica de los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

     En este ejercicio conviene recordar lo que hemos aprendido en el apartado 2.

Estudiar los tres últimos ejemplos del apartado 2.

4º- Discusión analítica de los sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

*  x + 2y =9       *  -x + 2y =1          *  2x - 3y =0

   2 x + 4y =9        2x - 4y =3              3x - y       =0

    x- y =-10           x + y =2                2x +(1/2)y =0

5º- Discusión gráfica de los sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas

    Los sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas pueden clasificarse según su solución en:

- compatible determinado; si sólo existe un valor para x, y , y z, respectivamente. Como:

2*x +3*y =9

5*x -2*y =13

3*x -5*y =4

- Incompatible; si tenemos soluciones dos a dos; o son paralelas entre sí. Como:

2*x +3*y =9                   2*x +3*y =9

3*x +5*y =4                   x +(3/2)*y =0  

5*x -2*y =-6                   2*x +3*y =5

- Compatible indeterminado; si las rectas son coincidentes. Como:

2*x +3*y =9

x +(3/2)*y =9/2

(2/3)*x  +y =3

Compruébalo, e inventa dos ejemplos para cada caso.

	M. Yolanda Azañón Redondo
	Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2004