SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Álgebra
 

1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CLASIFICACIÓN Y NOTACIÓN MATRICIAL

Una ecuación lineal es una expresión del tipo:

En ella, las variables  x1,  x2,  x3, ... ,  xn,  son las incógnitas de la ecuación y pueden tomar cualquier valor real.  a1,  a2,  a3, ... ,  an,  son números reales fijos y reciben el nombre de coeficientes de las incógnitas. Por último, el número real  b  se llama término independiente.

Un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas, tiene como expresión general la siguiente:

Donde:

aiji = 1, 2, 3, ... , mj = 1, 2, 3, ... , n  son números reales fijos, que reciben el nombre de coeficientes del sistema.

x1,  x2,  x3, ... ,  xn,  son las incógnitas del sistema.

b1b2 b3,  ... ,  bm,  son también números reales fijos y se llaman términos independientes. Si todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo.

Resolver un sistema de ecuaciones lineales es hallar, si existen, los números reales que pueden tomar las incógnitas de modo que se satisfagan a la vez todas las ecuaciones. Una solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de números reales  (s1s2 s3,  ...,  sn), tales que, al sustituir  x1  por  s1x2  por  s2 x3  por  s3, ... ,  xn  por  sn  se verifiquen simultáneamente todas las ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar, en función de sus soluciones, del siguiente modo:

  • Compatibles: Tienen al menos una solución. Además, un sistema no puede tener  2,  3,  4, ... , k   soluciones. O tiene una o tiene infinitas. En consecuencia, los sistemas compatibles, pueden ser:

    • Determinados: La solución es única.

    • Indeterminados: Tienen infinitas soluciones.

  • Incompatibles: No admiten ninguna solución.

Un sistema de  m  ecuaciones lineales con  n  incógnitas se puede escribir en forma matricial del siguiente modo:  A X = B.  La matriz  A  se llama  matriz del sistema, es de dimensión  m x n  y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz  X  es una matriz columna, de dimensión  n x 1,  formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz  B  es otra matriz columna, de dimensión  m x 1,  formada por los términos independientes. Es decir:

Además, se llama matriz ampliada del sistema, que representaremos por  A*,  a la matriz de dimensión  m x (n+1)  que se obtiene a partir de la matriz  A,  añadiéndole la columna formada por los términos independientes, es decir:


       
           
  Alfredo Pena Iglesias
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006
 
 

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