IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Geometría
 
1. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Se llaman identidades trigonométricas a igualdades en las que aparecen expresiones trigonométricas y para las que ocurre que sea cual sea el valor de los ángulos siempre se verifican.

Por ejemplo: sen(2a)=2sen(a).cos(a)

La igualdad anterior es una identidad porque sabemos que sea cual sea el valor del ángulo a el primer miembro de la igualdad toma el mismo valor que el segundo.

El nippe Descartes nos permite verificar si una expresión en la que figure una igualdad es una identidad o no.

Para ello escribimos en la parte inferior derecha la función y=1ª parte de la igualdad, y en la esquina inferior izquierda y=2ª parte de la igualdad. (No te olvides de pulsar Intro tras cada una)

Si las gráficas de las dos funciones coinciden, es una identidad. Si se cortan en algunos puntos, se trata de una ecuación con soluciones las abscisas de los puntos de corte. Si no se cortan nunca se trata de una ecuación sin solución.
Escribe en la parte inferior derecha y=2*sen(x)*cos(x) y pulsa la tecla Intro. Verás que aparece una gráfica roja que cubre totalmente a la verde, eso significa que se trata de una identidad.
Observa que debes escribir siempre funciones de x y que debes tener mucho cuidado con los signos de las operaciones y con los paréntesis.

Ejercicios:

Usa la técnica indicada para verificar que todas las fórmulas del ángulo doble

son identidades

En la segunda escribe y=(cos(x))^2-(sen(x))^2. El signo ^ se obtiene con las teclas Alt+94 (el 94 del teclado numérico).También con el cambio a mayúsculas y ^ dos veces

Estudia si son identidades:

sen(x+x)=sen(x)+sen(x) cos(2x)=cos(x)+cos(x) tan(x+x)=tan(x)+tan(x)

2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CON DOS VARIABLES.

Si el nippe Descartes fuese capaz de representar funciones de dos variables, podríamos estudiar por un método análogo al anterior si la superficie que representa la función de dos variables del primer miembro de la igualdad es la misma que la del segundo miembro.

Es fácil saber que sen(x+y)=sen(x)+sen(y) no es una identidad. (Porque sabemos la fórmula del ángulo suma y no es esa). Pero si pudiésemos representar z=sen(x+y) y z=sen(x)+sen(y) dispondríamos de un método interesante de comprobación.

Las gráficas de ambas superficies son:

 

Si las superponemos

y las giramos un poco respecto al eje Z queda:

Analizando un poco las imágenes concluiremos que evidentemente no coinciden, pero sin embargo la ecuación
sen(x+y)=sen(x)+sen(y) tiene soluciones ya que las superficies se cortan a lo largo de una sinusoide contenida en el plano YZ, a lo largo de otra sinusoide contenida en el plano XZ y a lo largo de una recta contenida en el plano XY.

De otra forma: sen(x+0)=sen(x)+sen(0); sen(0+y)=sen(0)+sen(y), y cuando x=-y sen(x+y)=sen(x)+sen(y)

 
       
           
  Jesús Fernández Martín de los Santos
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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