Generalización n-dimensional del Teorema de Pitágoras

 ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA LINEAL

 

El conocido teorema de Pitágoras se refiere a un triángulo rectángulo, figura bidimensional, ¿cuál es la generalización tridimensional de este teorema? Se nos ocurre que el equivalente tridimensional del triángulo rectángulo es un tetraedro rectángulo, es decir, el tetraedro que se obtiene al cortar con un plano la esquina de un cubo, similar a como se consigue el triángulo rectángulo al cortar con una recta, hipotenusa, la esquina de un cuadrado. De este modo las caras perpendiculares del tetraedro rectángulo son los catetos, y la otra cara, la hipotenusa. Pues bien,

 

 El cuadrado del área de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de las áreas de los catetos

 

Esta generalización tridimensional se visualiza en la siguiente escena y se amplía en la tabla a dimensión n, la explicación y demostración se puede consultar aquí.

 

Hemos encontrado algunos artículos que hablan de generalización m-dimensional del teorema de Pitágoras, refiriéndose a vectores m-dimensionales, es decir, la generalización se hace solamente sobre la dimensión del espacio en el que está sumergida la hipotenusa, así se concluye que el cuadrado del módulo de un vector (a,b,c...) es a2+b2+c2+..., lo que se reduce a aplicar la fórmula antes mencionada para el caso n=1, sin generalizar a figuras o a hipotenusas de mayor dimensión. La fórmula engloba ambas extensiones, esta página hace hincapié en la segunda porque nos parece menos conocida.

El applet Descartes nos muestra, la superficie definida por los puntos que determinan tetraedros rectángulos con hipotenusa constante.

 

De esta manera se puede generalizar también el Teorema del Cateto. En http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/t_cateto/index.htm veremos la generalización n-dimensional de este otro teorema, que en el tetraedro rectangular tiene este enunciado:

 

El cuadrado del área del cateto es el producto del área de la hipotenusa por el área de la proyección del cateto sobre la hipotenusa.

 

 


     
       
  Consolación Ruiz Gil
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006
 
 

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