Pensando con las matemáticas

1. Las flores de Fibonacci extraído del artículo Antonio Pérez Sanz de la revista SUMA ver página web http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/ Casi todo el mundo ha oído hablar de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Sí, claro, el de la famosa sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,...; la de los girasoles, las piñas, las espirales, la del número de oro. Incluso hay un vídeo dedicado a él. Son muchos menos los que saben que Fibonacci no pretendió en ningún momento armar este revuelo con una sucesión que, con el paso de los siglos, acabaría siendo la sucesión más famosa de la historia. De hecho, aparece como resultado de uno de los muchos y variados problemas que contiene el Liber Abaci, obra que catapultó a la fama a Leonardo en 1202.
Es el problema 18 del capítulo 12, parte séptima, y en apariencia no es uno de las más interesantes: Un hombre tiene una pareja de conejos en un determinado local cercado, se quiere saber cuántos crían esa pareja en un año, cuando es natural que paran en un mes otra pareja, y en el segundo mes, los que nacen, parirán también. La solución será: Al principio tenderemos 1 pareja de conejos pequeños Al final del segundo mes tenderemos 1 pareja de conejos adultos Al final del tercer mes tenderemos 1 pareja de conejos adultos y 1 pareja de conejos pequeños, en total 2 parejas de conejos Al final del cuarto mes tenderemos 2 parejas de conejos adultos y 1 pareja de conejos pequeños, en total 3 parejas de conejos Al final del quinto mes tenderemos 3 parejas de conejos adultos y 2 parejas de conejos pequeños, en total 5 parejas de conejos Al final del sexto mes tenderemos 5 parejas de conejos adultos y 3 parejas de conejos pequeños, en total 8 parejas de conejos Al final del septimo mes tenderemos 8 parejas de conejos adultos y 5 parejas de conejos pequeños, en total 13 parejas de conejos Al final del octavo mes tenderemos 13 parejas de conejos adultos y 8 parejas de conejos pequeños, en total 21 parejas de conejos Al final del noveno mes tenderemos 21 pareja de conejos adultos y 13 pareja de conejos pequeños, en total 34 parejas de conejos Al final del decimo mes tenderemos 34 pareja de conejos adultos y 21 pareja de conejos pequeños, en total 55 parejas de conejos Al final del undecimo mes tenderemos 55 pareja de conejos adultos y 34 pareja de conejos pequeños, en total 89 parejas de conejos Al final del duodecimo mes tenderemos 89 pareja de conejos adultos y 55 pareja de conejos pequeños, en total 144 parejas de conejos	Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

2. Análisis de beneficios Una empresa produce semanalmente 300 bicicletas de montaña que vende íntegramente al precio de 600 euros cada una. Tras un análisis de mercados observa que si varía el precio, también varían sus ventas (de forma continua) según la siguiente proporción: por cada 7 euros que aumente o disminuya el precio de sus bicicletas, disminuye o aumenta la venta en 3 unidades. ¿Puede aumentar el precio y obtener mayores ingresos? ¿A qué precio los ingresos serán máximos? Para averiguar la solución haremos: (a) Si incrementa el precio en 7 euros, entonces vende 297 bicicletas, obteniendo en este caso 607x297=180.279 euros. Luego la respuesta a la primera pregunta es: Sí. (b) Llamamos x a la cantidad de euros al que se vende cada bicicleta, entonces según la proporción del enunciado, el número de bicicletas será (300-(3/7)(x-600)) bicicletas. Se considera la función de ganancia, donde la variable x es el precio por bicicleta: f(x)=x(300-(3/7)(x-600)) Obteniendo la derivada de esta función e igualando a cero, para encontrar el máximo, tenemos que: f'(x)=(300-(6/7)x+(3/7)*600) con lo que x=650	Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

3. Cifras ocultas ¿Qué dígitos se han omitido en la siguiente multiplicación? Para averiguar la solución haremos: Primero averiguaremos las primeras cifras de ambos número de forma que el resultado de la multiplicación acabe en 1. En este caso: 1x1; 3x7;7x3;9x9 Ahora tenemos que partir de cada una de estas cuatro suposiciones y buscar la segunda cifra de ambos números, de forma que la suma acabe en 01. Hay que tener en cuenta que además el número de cifras de las multiplicaciones no puede pasar de 3 cifras y el resultado de 4 cifras.	Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

4. Números impares formados por cifras impares ¿Cuantos números hay entre dos números de 4 cifras están formados exclusivamente por cifras impares? Para averiguar la solución haremos: Se trata de descomponer cada uno de los números en sus 4 cifras (Ej: 1122 y 2301), buscar el primer número inmediatamente superior al más pequeño con todas sus cifras impares (Ej. 1131), y el primer número inmediatamente inferior al más grande con todas sus cifras impares (Ej. 1999). Con lo que en realidad tenemos que calcular el total de número con todas sus cifras impares entre los dos números que acabamos de determinar. Ahora incrementaremos la cifra de las decenas cuidando de que el número siga siendo inferior al límite superior. Esto implica 5 números por cada dos decenas ya que cada dos decenas, una de ellas tendrá una cifra par. Esto nos lleva a concluir que por cada centena hay 20 números con todas sus cifras impares, y también cada dos centenas, ya que una de ellas tendrá una cifra par. Esto nos llevaría en el ejemplo a 100 números con todas sus cifras impares entre 1131 y 1931 (este no incluido). En el ejemplo, ahora solo nos queda calcular los números con todas sus cifras impares entre 1931 y 1999, haciendo el mismo razonamiento. En el ejemplo serían 20, sumado a los 100 anteriores, hace un total de 120 números.	Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

1. Las flores de Fibonacci

extraído del artículo Antonio Pérez Sanz de la revista SUMA

ver página web http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/

Casi todo el mundo ha oído hablar de Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci. Sí, claro, el de la famosa sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,...; la de los girasoles, las piñas, las espirales, la del número de oro. Incluso hay un vídeo dedicado a él.

Son muchos menos los que saben que Fibonacci no pretendió en ningún momento armar este revuelo con una sucesión que, con el paso de los siglos, acabaría siendo la sucesión más famosa de la historia. De hecho, aparece como resultado de uno de los muchos y variados problemas que contiene el Liber Abaci, obra que catapultó a la fama a Leonardo en 1202.

Es el problema 18 del capítulo 12, parte séptima, y en apariencia no es uno de las más interesantes:

Un hombre tiene una pareja de conejos en un determinado local cercado, se quiere saber cuántos crían esa pareja en un año, cuando es natural que paran en un mes otra pareja, y en el segundo mes, los que nacen, parirán también.

La solución será:

Al principio tenderemos 1 pareja de conejos pequeños

Al final del segundo mes tenderemos 1 pareja de conejos adultos

Al final del tercer mes tenderemos 1 pareja de conejos adultos y 1 pareja de conejos pequeños, en total 2 parejas de conejos

Al final del cuarto mes tenderemos 2 parejas de conejos adultos y 1 pareja de conejos pequeños, en total 3 parejas de conejos

Al final del quinto mes tenderemos 3 parejas de conejos adultos y 2 parejas de conejos pequeños, en total 5 parejas de conejos

Al final del sexto mes tenderemos 5 parejas de conejos adultos y 3 parejas de conejos pequeños, en total 8 parejas de conejos

Al final del septimo mes tenderemos 8 parejas de conejos adultos y 5 parejas de conejos pequeños, en total 13 parejas de conejos

Al final del octavo mes tenderemos 13 parejas de conejos adultos y 8 parejas de conejos pequeños, en total 21 parejas de conejos

Al final del noveno mes tenderemos 21 pareja de conejos adultos y 13 pareja de conejos pequeños, en total 34 parejas de conejos

Al final del decimo mes tenderemos 34 pareja de conejos adultos y 21 pareja de conejos pequeños, en total 55 parejas de conejos

Al final del undecimo mes tenderemos 55 pareja de conejos adultos y 34 pareja de conejos pequeños, en total 89 parejas de conejos

Al final del duodecimo mes tenderemos 89 pareja de conejos adultos y 55 pareja de conejos pequeños, en total 144 parejas de conejos

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

2. Análisis de beneficios

Una empresa produce semanalmente 300 bicicletas de montaña que vende íntegramente al precio de 600 euros cada una. Tras un análisis de mercados observa que si varía el precio, también varían sus ventas (de forma continua) según la siguiente proporción: por cada 7 euros que aumente o disminuya el precio de sus bicicletas, disminuye o aumenta la venta en 3 unidades.

¿Puede aumentar el precio y obtener mayores ingresos?
¿A qué precio los ingresos serán máximos?

Para averiguar la solución haremos:

(a) Si incrementa el precio en 7 euros, entonces vende 297 bicicletas, obteniendo en este caso 607x297=180.279 euros. Luego la respuesta a la primera pregunta es: Sí.

(b) Llamamos x a la cantidad de euros al que se vende cada bicicleta, entonces según la proporción del enunciado, el número de bicicletas será (300-(3/7)*(x-600)) bicicletas.

Se considera la función de ganancia, donde la variable x es el precio por bicicleta: f(x)=x*(300-(3/7)*(x-600))

Obteniendo la derivada de esta función e igualando a cero, para encontrar el máximo, tenemos que: f'(x)=(300-(6/7)*x+(3/7)*600) con lo que x=650

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

3. Cifras ocultas

¿Qué dígitos se han omitido en la siguiente multiplicación?

Para averiguar la solución haremos:

Primero averiguaremos las primeras cifras de ambos número de forma que el resultado de la multiplicación acabe en 1. En este caso: 1x1; 3x7;7x3;9x9

Ahora tenemos que partir de cada una de estas cuatro suposiciones y buscar la segunda cifra de ambos números, de forma que la suma acabe en 01. Hay que tener en cuenta que además el número de cifras de las multiplicaciones no puede pasar de 3 cifras y el resultado de 4 cifras.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

4. Números impares formados por cifras impares

¿Cuantos números hay entre dos números de 4 cifras están formados exclusivamente por cifras impares?

Para averiguar la solución haremos:

Se trata de descomponer cada uno de los números en sus 4 cifras (Ej: 1122 y 2301), buscar el primer número inmediatamente superior al más pequeño con todas sus cifras impares (Ej. 1131), y el primer número inmediatamente inferior al más grande con todas sus cifras impares (Ej. 1999). Con lo que en realidad tenemos que calcular el total de número con todas sus cifras impares entre los dos números que acabamos de determinar.

Ahora incrementaremos la cifra de las decenas cuidando de que el número siga siendo inferior al límite superior. Esto implica 5 números por cada dos decenas ya que cada dos decenas, una de ellas tendrá una cifra par. Esto nos lleva a concluir que por cada centena hay 20 números con todas sus cifras impares, y también cada dos centenas, ya que una de ellas tendrá una cifra par. Esto nos llevaría en el ejemplo a 100 números con todas sus cifras impares entre 1131 y 1931 (este no incluido).

En el ejemplo, ahora solo nos queda calcular los números con todas sus cifras impares entre 1931 y 1999, haciendo el mismo razonamiento. En el ejemplo serían 20, sumado a los 100 anteriores, hace un total de 120 números.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

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