Para expresar que x toma valores cada vez más grandes, ponemos  x®¥  (x tiende a más-infinito) . Por ejemplo si x toma valores 100, 1000, 10000... decimos que x tiende a más infinito.

Se dice que x tiende a menos-infinito (x®-¥) cuando los valores que toma x son negativos y cada vez más pequeños. Por ejemplo -100, -1000, -10000...

Anota en tu cuaderno los resultados, dibuja otras gráficas que se te ocurran y comprueba que se pueden dar cuatro casos en el límite de una función cuando x tiende a +¥. 

1-Los valores de f(x) se hacen tan grandes como queramos, f(x) tiende a ¥.

2- Los valores de f(x) se hacen tan pequeños como queramos, f(x) tiende a -¥.

3- Los valores de f(x) se aproximan a un número l tanto como queramos, f(x) tiende a l.

4- Los valores de f(x) no siguen ninguno de los comportamientos anteriores, f(x) no tiene límite.

EJERCICIO 2- ¿Sabrías decir a qué tiende cada una de las cinco funciones de la escena anterior cuando x®-¥ ?

                          - ¿Qué puedes decir acerca del comportamiento de una función cuando x tiende a -¥ ?. 

      Es evidente que la función f(x) = x tiende a ¥ cuando x®¥ y tiende a -¥ cuando x®-¥. En la siguiente escena  se trata de averiguar cuál es el límite de una función de la forma f(x)=axⁿ  (según los valores de a y n).

    Al acabar el ejercicio anterior debes saber, sin necesidad de hacer ningún cálculo, a qué tiende cualquier monomio cuando x tiende a +¥ o a -¥.   

    Ahora verás que hallar el límite de cualquier función polinómica es también muy sencillo.

    En la siguiente escena se puede dibujar cualquier función polinómica de la forma f(x)=ax⁴+bx³+cx²+dx+e  (es decir, podrás representar cualquier función polinómica hasta  grado 4, variando convenientemente los coeficientes)  los resultados se pueden extender fácilmente a un polinomio de cualquier grado.

Ya sabes que f(x)=3x²®+¥ cuando x®+¥ ¿qué ocurrirá si completamos el polinomio? ¿A qué tenderá 3x² +x? ¿Y 3x²+100x? (Responde a estas preguntas en tu cuaderno).

La respuesta a las dos cuestiones anteriores parece obvia, quizá no lo sea tanto la tendencia de las funciones y=3x²-6x o y= x²-10x. Escribe en tu cuaderno cuál te parece que es el límite de estas funciones.

Comprueba si tu respuesta es correcta utilizando la escena, en ella puedes dibujar cualquier función polinómica hasta grado 4. Asigna valores adecuados a los coeficientes y, haciendo que x tome valores muy grandes o simplemente desplazando los ejes, observarás qué ocurre cuando x®+¥ para las funciones anteriores.

¿Has sacado alguna conclusión de estos resultados?

EJERCICIO 2-

Repite el ejercicio anterior haciendo ahora que x tienda a -¥.

EJERCICIO 3- 

a) Intenta deducir cuál es el límite de las siguientes funciones polinómicas cuando x®+¥ :

f1(x)=x³-3x-10, f2(x)=2+x-4x³, f3(x)=10x³-x⁴  y f4(x)=(7-x)².

b) Ahora di cuál será el límite de las funciones del apartado anterior cuando  x®-¥.

Comprueba tus soluciones utilizando la escena.

¿Se pueden generalizar los resultados anteriores?

EJERCICIO 4-

Una vez que hayas escrito una regla general para el valor del límite de un polinomio busca ejemplos y comprueba que se cumple.

   Ahora vamos a ver cuál es este límite cuando la función polinómica está en el denominador y en el numerador un número real k # 0.

En la escena puedes representar estas funciones (variando convenientemente k, a, b y n) y comprobar tus resultados. 

Observa la posición de estas funciones (para valores muy grandes o muy pequeños de x) en unos casos sobre el eje X y en otros por debajo. Justifícalo

Generaliza los resultados anteriores, propón ejemplos y comprueba tus conclusiones.