Límite de una función en un punto

	LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
	Análisis



1. Idea intuitiva:

Decir que existe el límite de una función f en cierto punto a equivale a decir que, fijándonos en entornos suficientemente pequeños del punto a, la función tomará en todos los puntos de tales entornos (excepto en el punto a) valores tan cercanos como queramos a una determinada cantidad, que será el límite. Obsérvese que no se está exigiendo que la función esté definida en el punto en el que queremos estudiar la existencia o no de límite.




Ejemplo 1: En el siguiente ejemplo vamos a intentar intuir si existe el límite de la siguiente función en el punto 0.

Observa que la función f no está definida en el punto en el que pretendemos estudiar su límite.

a) Desde un punto de vista numérico

		En la escena de la izquierda puedes ver fácilmente de forma muy aproximada los valores que toma la función f en puntos cerca del 0, aproximándonos tanto desde la izquierda (control x1) como desde la derecha (control x2). Introduce valores cada vez más cercanos a 0, tanto positivos como negativos, y observa qué valores toma la función.

b) Desde un punto de vista gráfico

		Observa la gráfica de la función. Pulsa el control "Animar" para ver el comportamiento de la función en valores cercanos a 0. ¿Crees que existe el límite de la función en ese punto? ¿Cuál crees que es su valor?


2. Definición. Límites laterales:

Una vez que tenemos una visión inicial de la idea de límite, vamos a intentar una aproximación más rigurosa. Para ello tenemos que hablar del concepto de límite lateral. Supongamos que tenemos una función f definida en cierto intervalo y tomamos un punto a de dicho intervalo. Decir que existe el límite por la derecha de la función f en el punto a equivale a decir que, fijándonos en intervalos abiertos suficientemente pequeños con extremo superior a, la función tomará en todos los puntos de dichos intervalos valores tan cercanos como queramos a una determinada cantidad, que será el límite por la derecha de la función en a. Obsérvese que no se está exigiendo que la función esté definida en el punto en el que queremos estudiar la existencia o no de límite por la derecha. Una definición parecida puede darse para el límite lateral por la izquierda, sólo que en este caso nos fijaremos en los valores que toma la función a la izquierda del punto a.

Ejemplo 2: En el siguiente ejemplo vamos a intentar intuir si existen los límites laterales de la siguiente función en el punto 0.

Vemos otra vez que una función puede no estar definida en el punto en el que pretendemos estudiar su límite.

a) Desde un punto de vista numérico
		En la escena de la izquierda puedes ver fácilmente de forma muy aproximada los valores que toma la función f en puntos cercanos al cero. Veamos primero los valores que toma la función en puntos ligeramente mayores que cero. Introduce en el control x2 valores positivos muy pequeños y observa cuánto vale la función en dichos puntos. ¿Crees que existe el límite lateral por la derecha de la función f en 0? ¿Cuál crees que es su valor? Veamos ahora los valores que toma la función en puntos ligeramente menores que cero. Introduce en el control x1 valores negativos muy cercanos a 0 y observa cuánto vale la función en dichos puntos. ¿Crees que existe el límite lateral por la izquierda de la función f en 0? ¿Cuál crees que es su valor? Fíjate en un detalle. La función f se podría definir "a trozos" de la siguiente forma:

b) Desde un punto de vista gráfico

		En la escena de la izquierda puedes ver la gráfica de la función f. Pulsa el control "Animar". Como puedes observar, si tomamos valores positivos muy cercanos a 0 la función se va acercando a 1. Se tiene que: Sin embargo, si tomamos valores negativos muy cercanos a 0 la función se va aproximando a -1. Se tiene que: Por tanto, aunque existen ambos límites laterales, no coinciden. Se tiene por tanto que:



Ejemplo 3: En el ejemplo anterior ambos límites laterales existen, aunque son distintos. En este ejemplo vamos a ver que en ocasiones uno o ambos límites laterales de una función en un punto ni siquiera existen. Para ello, vamos a ver cómo se comporta cerca del 0 la siguiente función:

De nuevo observamos que no es necesario que la función esté definida en el punto en el que pretendemos estudiar su límite.

a) Desde un punto de vista numérico

		En la escena de la izquierda puedes ver fácilmente de forma muy aproximada los valores que toma la función f en puntos cercanos a 0. Veamos primero los valores que toma la función en puntos ligeramente mayores que cero. Introduce en el control x2 valores positivos muy pequeños y observa cuánto vale la función en dichos puntos. ¿Crees que existe el límite lateral por la derecha de la función f en 0? Veamos ahora los valores que toma la función en puntos ligeramente menores que cero. Introduce en el control x1 valores negativos muy cercanos a 0 y observa cuánto vale la función en dichos puntos. ¿Crees que existe el límite lateral por la izquierda de la función f en 0?

b) Desde un punto de vista gráfico

		Si pulsas el botón "Animar" en la escena de la izquierda podrás ver cómo se comporta la función f conforme nos aproximamos a 0 desde la derecha (desde la izquierda tiene un comportamiento análogo, ya que esta función tiene simetría impar respecto al 0). Se tendrá que:



Ejemplo 4: Ahora vamos a estudiar el comportamiento cerca de 0 de la siguiente función:

Observamos una vez más que la función no tiene por qué estar definida en el punto en el que pretendemos estudiar su límite.

a) Desde un punto de vista numérico

		En la escena de la izquierda puedes ver fácilmente de forma muy aproximada los valores que toma la función f en puntos cercanos a 0. Veamos primero los valores que toma la función en puntos ligeramente mayores que cero. Introduce en el control x2 valores positivos muy pequeños y observa cuánto vale la función en dichos puntos. ¿Crees que existe el límite lateral por la derecha de la función f en 0? ¿Cuál crees que es su valor? Veamos ahora los valores que toma la función en puntos ligeramente menores que cero. Introduce en el control x1 valores negativos muy cercanos a 0 y observa cuánto vale la función en dichos puntos. ¿Crees que existe el límite lateral por la izquierda de la función f en 0? ¿Cuál crees que es su valor?


b) Desde un punto de vista gráfico


		Si pulsas el botón "Animar" en la escena de la izquierda podrás ver cómo se comporta la función f conforme nos aproximamos a 0 tanto desde la derecha como desde la izquierda. Como ves, se tiene que: Por tanto se puede decir que



Ejemplo 5: Ahora vamos a estudiar el comportamiento cerca de 0 de la siguiente función:

Vemos en este caso también que no es necesario que una función esté definida en un punto para estudiar el límite de la función en dicho punto.


a) Desde un punto de vista numérico


		En la escena de la izquierda puedes ver fácilmente de forma muy aproximada los valores que toma la función f en puntos cercanos al cero. Puedes comprobar que si tomamos valores negativos muy próximos a 0, la función se va aproximando a 0. Pero aquí nos interesa sobre todo el comportamiento de la función a la derecha del 0. Si tomas valores positivos cercanos a 0 (control x2) verás que la función toma valores "grandes". De hecho, si imaginas un número grande, te será fácil encontrar algún valor positivo cercanos a 0 tales que la función, entre el cero y dicho valor, toma cantidades aún mayores que la cantidad que te has imaginado. Esto es lo que significa decir que el límite lateral por la derecha de la función f en 0 es


b) Desde un punto de vista gráfico


		En la escena de la izquierda puedes ver gráficamente qué significa que el límite lateral por la derecha de la función f en 0 sea .Inserta un valor en el control M y pulsa "Animar". Verás cómo se comporta la función f en valores positivos cercanos a 0. Podrás comprobar cómo, conforme nos acercamos a 0 por la derecha, la función toma valores cada vez mayores. Y, sea cual sea, el valor de M introducido, verás que valores positivos suficientemente pequeños, la función toma valores por encima de M. Diremos que cuando la variable tiende a 0 por la derecha, la función tiende a . Esto se escribirá: También sabemos por la escena anterior que: Se tiene: