POSICIONES RELATIVAS

4 DE E.S.O.

4. Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.

En la figura adjunta aparecen las distintas posiciones relativas de una recta con respecto a una circunferencia:

                          

                                      

  • Tangente: Si corta a la circunferencia en un solo punto. (r)
  • Secante: Si corta a la circunferencia en dos puntos (s)
  • Exterior: Si no corta a la circunferencia en ningún punto (t)

Las escenas siguientes nos permiten estudiar las posiciones relativas de una recta y una circunferencia desde dos puntos de vista:

Escena 1: Calculando la distancia desde la recta al centro de la circunferencia. Recordamos aquí la fórmula que nos da la distancia de un punto C (a, b) (centro de la circunferencia) a una recta s de ecuación: A.x + B.y + C = 0

                                              

  • Si el valor de d (C, s) = r ( radio de la circunferencia) la recta es tangente a la circunferencia.
  • Si el valor de d (C, s) < r, la recta es secante a la circunferencia.
  • Si el valor de d (C, s) > r, la recta es exterior a la circunferencia.

12. Averigua cual es la posición relativa de la recta r respecto a la circunferencia C en cada uno de estos casos:

        

         a) r: 2x + y - 7 = 0  y   C: x2 + y2 + 8x -10y + 16 = 0

         b) r: x - 2y + 1 = 0  y   C: x2 + y2 + 2x - 6y + 9 = 0

         c) r: 2x + 8y -16 = 0   y   C: x2 + y2 + 2y - 5 = 0

         d) r: 3x - 4y - 18 = 0    y  C: x2 + y2 - 6x - 8y = 0

13. Es correcto afirmar que la recta 3x + 5y - 2 = 0 es secante a la circunferencia de centro en (2, -1) y de radio 3?

14. Halla la longitud de la cuerda determinada por la recta x - y + 2 = 0 y la circunferencia x2 + y2 -2x - 4y +4 = 0

Escena 2: Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la circunferencia.

 Ejemplo: Determina la posición relativa de la recta y la circunferencia dadas:

          r: -2x + y - 4 = 0

         C: x2 + y2 + 2x - 2y = 0

1. Sustituye el valor de y de la primera ecuación en la segunda y resuelve la ecuación resultante para hallar los valores de x:

  y = 2x + 4;      x2 + (2x + 4)2 + 2x - 2(2x + 4) = 0;  

 5x2 + 14x + 8 = 0;     x1 = -2;     x2 = -4/5

2. Sustituye los valores de x en la primera ecuación para obtener los valores de y:

         Para x1 = -2     y = 0            A= (-2, 0)

         Para x2 = -4/5   y = 12/5      B = (-4/5, 12/5)

Luego la recta y la circunferencia son secantes en los puntos A y B

Si el sistema formado por ambas ecuaciones, tiene una sola solución, la recta y la circunferencia son tangentes (sistema compatible determinado), y si el sistema no tiene solución la recta y la circunferencia son exteriores ( sistema incompatible).

                                                                                                  

15. En la escena siguiente representa la recta y la circunferencia dadas, y desplaza los puntos A y B sobre la recta hasta hacerlos coincidir con los puntos de corte. Comprueba que sus coordenadas coinciden con la solución del sistema.

16. Determina las coordenadas de los puntos de corte de cada recta con la circunferencia correspondiente en los casos propuestos en la actividad 10.Cómo son los sistemas formados por ambas ecuaciones en cada uno de los casos?

17. Halla la posición relativa de la bisectriz del primer cuadrante respecto de la circunferencia que tiene de ecuación x2 + y2 -2 = 0.

18. La recta 4x + 3y -24 = 0 forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo. Halla la ecuación de la circunferencia circunscrita al mismo. (Ayúdate de lápiz y cuaderno)
  • Dibuja la recta dada y determina los puntos de corte con los ejes de coordenadas: A(  ,  ) B(  ,  )
  • Determina el punto medio del segmento comprendido entre A y B. Será el centro de la circunferencia de coordenadas C = (a, b) = (  ,  )
  • Para hallar el radio de la circunferencia hallamos la distancia de C a A ó B: 

                                                             r = d (C, A) = 

  • La ecuación de la circunferencia será de la forma. (x -a)2 + (y - b)2 = r2 . Desarróllala:
  • Dibújala y comprueba que circunscribe al triángulo AOB.

                                                                                                                                                          

  M. del Carmen Sánchez López
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004