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La integral definida. Definición: |
Dada f(x)
una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se
define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área
limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de
f(x) y se nota 
Si f(x) es una función continua y negativa en el
intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el
intervalo [a,b],
como el valor
del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica
de f(x), cambiado de signo. |
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La integral definida. Propiedades: |
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Dada f(x)
una función continua y positiva en el intervalo [a ,b]. Entonces
se tiene:
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-
Si f(x)
es integrable en el intervalo [a,b] y c [a,b]
entonces 
-
Si f
y g son dos funciones integrables en [a,b]
entonces 
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En la escena de la izquierda se muestra la gráfica
de la función f(x), el valor de la integral de f(x) en el
intervalo [a,b] y en el intervalo [c,d]
Comprueba que se verifican las propiedades vistas antes. |
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TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LA INTEGRAL
Si f es una función continua en [a,b],
entonces existe un
c[a,b]
tal que:
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En
la escena superior derecha se muestra la gráfica de un función f(x)
así como el valor de la integral de f(x) en el intervalo [a,b].
- Con los valores de a=-0.5 y
b=2 determinar el valor de c para el que se cumple el teorema del
valor medio de la integral.
- ¿Cómo se podría enunciar el teorema del
valor medio de la integral relacionando el valor de la integral con
el de un cierto rectángulo?
- ¿Siempre hay un único valor c que
cumpla el teorema del valor medio de la integral? ¿Se te ocurre cómo
debe ser la gráfica de una función para que haya más de un valor
c que cumpla el teorema?
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Si f es una función continua en [a,b],
entonces la
función  es derivable y
 , es decir, F(x)
es una primitiva de f(x) |
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En
la escena superior derecha se muestra la gráfica de un función f(x)
así como el valor de la función F(x)
- Con el valor de a=-0.5 determinar
para qué valores de x la función F(x) es creciente y
dónde es decreciente. Y en qué valores de x la función F(x)
alcanza un máximo o un mínimo.
- ¿Si cambiemos el valor de a se
modifican los resultados obtenidos en el ejercicio anterior?
- ¿Encuentras alguna relación entre los
resultados obtenidos y lo que dice el teorema fundamental del
cálculo?
- ¿Existen más primitivas de la función
f(x)?
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