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CON
TRIÁNGULOS |
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ALGUNOS
RESULTADOS IMPORTANTES
1. RECTA DE EULER
En todo triángulo no equilátero el ortocentro (intersección de las alturas) , el baricentro (intersección de las medianas) y el circuncentro (intersección de las mediatrices) están alineados, y, además, se cumple la relación métrica: OG = 2·GK. La recta que los contiene se conoce como recta de Euler (1707-1783).
Para ello utiliza los controles p1 y p2 para modificar las coordenadas del punto P(p1,p2) hasta hacerlo coincidir con alguno de los otros tres puntos: ortocentro, baricentro o circuncentro. A continuación modifica la pendiente de la recta “m” hasta hacerla pasar por otro de los puntos y observa que también pasa por el tercero de los puntos.
2. RECTA DE
SIMSON
Se consideran un triángulo y su circunferencia circunscrita. Los tres puntos
obtenidos al proyectar un punto P cualquiera de la circunferencia sobre las
rectas que contienen a los lados están alineados. La recta que los contiene se
conoce como recta de Simson.
El siguiente applet permite observar como varía
la recta de Simson al modificar el punto P que se encuentra sobre su
circunferencia circunscrita al triángulo ABC.
3. CIRCUNFERENCIA DE
LOS NUEVE PUNTOS
Para todo triángulo ABC existe una circunferencia que contiene los puntos
medios de los lados, los pies de las alturas y los puntos medios de los
segmentos determinados por el ortocentro y los tres vértices.
Esta
circunferencia se conoce con el nombre de circunferencia de los "nueve puntos" o
de Feuerbach.
El siguiente applet permite observar un triángulo y su
circunferencia de los "nueve puntos".
Se pueden modificar las coordenadas
de los vértices del triángulo ABC (utilizando los controles que existen en la
parte inferior del applet) y comprobar que los nueve puntos se encuentran sobre
la misma circunferencia.
4. TEOREMA DE CEVA
Este teorema establece la condición que deben cumplir tres puntos situados sobre los tres lados de un triángulo y no coincidentes con los vértices, para que los segmentos que unen esos puntos con los vértices se corten en un mismo punto.
Teorema de Ceva:
Consideremos un triángulo ABC y tres
rectas que pasan cada una por un vértice distinto del triángulo y que no
contienen a los lados del triángulo. LLamaremos a los puntos de intersección de
esas rectas con los lados K, L y M (ver applet).
La condición
necesaria y suficiente para que las tres rectas se corten en un mismo punto es:
(AK/KB)*( BL/LC)*(CM/MA) = 1.
Puedes modificar la posición de los tres puntos K, L y M en el siguiente applet y comprobar así el resultado.
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