FUNCIONS QUADRÀTIQUES

Cas general

A les següents activitats estudiareu les característiques de la gràfica d'una funció quadràtica definida mitjançant l'expressió general y=ax² +bx+c. Evidentment si b=0 no caldrà afegir res de nou a tot allò que ja hem vingut estudiant.

1. PRIMERA APROXIMACIÓ A LES FUNCIONS DEL TIPUS y=ax² +bx+c

Amb l'ajut de la següent escena analitzarem el paper dels coeficients a, b i c.

D'una banda, fixant a i b, aneu modificant els valors de c. Què observeu ?

Després, fixeu b i c, i aneu modificant els valors de a. Compareu la forma de la paràbola verda amb la de la paràbola vermella, que correspon a la funció y=ax ² Coincideixen ?

Per últim, fixats a i c, aneu modificant b. Què observeu ?

En aquest cas, hem de seguir treballant per tal de determinar el vèrtex de la paràbola.

Completeu la taula següent:

2. ELS PUNTS DE TALL D'UNA PARÀBOLA AMB L'EIX OX

Per a determinar l'eix de simetria i el vèrtex d'una paràbola, podem suposar que c és igual a 0, perquè ja hem vist que el valor de c no modifica l'eix de simetria de la paràbola, ja que només la fa pujar o baixar. Suposant, per tant, que c és igual a 0, observeu, modificant l'escena següent, els punts de tall de la paràbola amb l'eix OX.

És clar que un dels punts és sempre (0,0), però, com podem trobar l'altre? 

La resposta ens la dóna l'equació ax² +bx=0, amb solucions x=0 i x=-b/a

En general, per a trobar els punts de tall d'una paràbola qualsevol amb l'eix OX, caldrà resoldre l'equació completa: ax ² +bx+c=0.

Trobeu els punts de tall amb l'eix OX de les paràboles següents:

a)    y=x² -3x

b)    y=x² -3x+2

c)    y=-2x² +3x

d)    y=2x² -3x+1

3. EIX I VÈRTEX D'UNA PARÀBOLA D'EQUACIÓ y=ax² +bx

Si observeu i modifiqueu l'escena següent, veureu que l'eix de simetria de la paràbola passa pel punt mig del segment format pels dos punts de tall amb OX, és a dir (0,0) i (-b/a,0).

Per a trobar el punt mig entre dos valors només cal sumar-los i dividir per dos per tant, x=[0+(-b/a)]/2, és a dir, x=-b/2a. 

Per a calcular la segona coordenada del vèrtex cal utilitzar l'equació, substituint x per -b/2a i calculant y.

Determineu el vèrtex de les paràboles següents:

a)y=-x² +2x

b)y=x² +6x

c)y=-2x² +5x

d)y=3x² -12x

4. EIX I VÈRTEX D'UNA PARÀBOLA D'EQUACIÓ y=ax² +bx+c

L'eix de simetria d'una paràbola, com hem dit anteriorment, no depèn de c, per tant el calcularem de la mateixa manera que a l'escena anterior, i serà x=-b/2a. 

Calcularem la segona coordenada del vèrtex de la mateixa manera que abans.

A l'escena següent doneu valors als coeficients a i b i feu que c sigui 0. A continuació modifiqueu c i observeu que l'eix de simetria no canvia.

A la vostra llibreta, completeu, fent els càlculs que calgui, la taula següent:

Manuel Arriola Vergés   Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.