p(-z_α/2 < Z < z_α/2) = c

Si en el caso general tomamos:

bastará con hacer unas sencillas operaciones para llegar a que el intervalo de confianza para la media μ de una población normal con desviación típica conocida σ es:

En el caso de poblaciones que no son normales, o que simplemente no sabemos si lo son o no, necesitamos que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande (n > 30) para poder aplicar el Teorema central del límite para obtener que el intervalo de confianza para la media μ de una población con desviación típica conocida σ es:

Cuando se desconoce la desviación típica poblacional se usa como estimador la desviación típica de la muestra con lo que el intervalo de confianza para la media μ de una población con desviación típica desconocida es:

Un problema típico es determinar el tamaño muestral mínimo para que el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza dado tenga una cota de error igual a una cantidad conocida.

Para calcular el tamaño muestral mínimo basta plantear la igualdad:

de donde:

Si el valor que se obtiene no es entero se tomará el menor entero mayor que el valor obtenido.

En estos problemas no es necesario conocer la media muestral. Si se conoce la media muestral se puede determinar el intervalo de confianza.

Haz los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con las escenas anteriores:

Ejercicio 2

Se sabe que la velocidad de los coches que circulan por una carretera es una variable aleatoria que sigue una distribución Normal con desviación típica 12 km/hora.

1. Se toma una muestra aleatoria de 400 coches que da una velocidad media de 87 km/hora. Obtenga un intervalo con un 95% de confianza, para la velocidad media del total de coches que circulan por esa carretera.
2. Calcule el mínimo tamaño de la muestra que se ha de tomar para estimar la velocidad media del total de coches que circulan por esa carretera, con un error inferior a 1 km/hora para un nivel de confianza del 99%.

Ejercicio 3

El número de horas semanales que los estudiantes de Bachillerato de una ciudad dedican al deporte se distribuye según una ley Normal de media 8 y varianza 7.29.

a) Para muestras de tamaño 36, indique cuál es la distribución de las medias muestrales.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra de tamaño 36 esté comprendida entre 7.82 y 8.36 horas?

Ejercicio 4

La duración de un cierto tipo de bombillas eléctricas se distribuye según una ley Normal con desviación típica 1500 horas.

a) Si en una muestra de tamaño 100, tomada al azar, se ha observado que la vida media es de 9900 horas, determine un intervalo, con el 95% de confianza, para la vida media de esta  clase de bombillas.

b) Con un nivel de confianza del 99% se ha construido un intervalo para la media con un error máximo de 772.5 horas, ¿qué tamaño de la muestra se ha tomado en este caso?

Ejercicio 5

Los resultados de un test de sensibilidad musical realizado a los alumnos de un Conservatorio se distribuyen según una ley Normal de media 65 y desviación típica 18.

a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral para muestras de tamaño 25?

b) Para muestras aleatorias de tamaño 100, halle la probabilidad de que su puntuación media esté comprendida entre 63 y 67 puntos.