1. ECUACIONES VECTORIAL Y PARAMÉTRICAS DE LA RECTA.

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.

Consideremos el sistema de referencia R=(0;i,j) y r la recta que pasa por A y lleva la dirección u.

Sea X un punto cualquiera de la recta r, entonces el vector AX es proporcional al vector u por estar en la misma dirección.

AX = tu, siendo t un número real cualquiera (parámetro).

Sean a y x los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente. Observa la figura y obtendrás:

x=a+AX= a+tu, es decir, x=a+tu, con t perteneciente a los reales.

Esta igualdad se llama ecuación vectorial de la recta r(A, u). Dando valores al parámetro t, se obtiene un conjunto de vectores de posición de puntos que pertenecen a la recta r.

Sean (x,y), (x₁,y₁) y (a,b) las coordenadas de los vectores x, a y u, respectivamente. Sustituyendo en la ecuación vectorial, resulta:

x=a+tu

(x,y)=(x₁,y₁)+ t(a,b)= (x₁+ta, y₁+tb)

Igualando las componentes de ambos vectores, se obtiene:

x= x₁+ta, y=y₁+tb con t perteneciente a los reales.

Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta. Para cada valor de t se obtiene un punto de la recta r.

1. Calcula y dibuja en tu cuaderno la ecuación vectorial y las paramétricas de la recta r que pasa por A(5,3) y lleva la dirección u=i-2j. Introduce los datos en la escena anterior. 

2. ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA CONTINUA Y ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE.

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA CONTINUA.

Acabamos de ver que las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(x₁,y₁) y lleva la dirección u=(a,b) son:

x= x₁+ta, y=y₁+tb con t perteneciente a los reales.

Si a y b son distintos de cero, despejando t en ambas ecuaciones e igualando, resulta:

t= (x- x₁)/a; t= (y- y₁)/b, por lo que:

(x- x₁)/a= (y- y₁)/b

La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación continua de la recta.

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA PUNTO-PENDIENTE.

Consideremos la recta r que pasa por el punto A(x₁,y₁) y lleva la dirección u=(a,b); la ecuación en forma continua de la recta r es: (x- x₁)/a= (y- y₁)/b

Despejando y-y₁ se tiene: y-y₁=(b/a)(x-x₁)

Al coeficiente de x, b/a, se le llama pendiente de la recta y se representa por m, sustituyendo en la ecuación anterior, resulta:

y-y₁=m(x-x₁)

La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación de la recta en la forma punto-pendiente.

La pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma la parte positiva del eje de abcisas con la recta.

ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA SEGMENTARIA.

Si una recta r corta a los ejes en los puntos A(a,0) y B(0,b), la igualdad:

(x/a)+(x/b) = 1

recibe el nombre de ecuación de la recta en forma segmentaria, ya que se obtiene en función de los segmentos orientados a y b.

3. ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA.

Sea A un punto de la recta r; cualquier punto X de la recta r determina con A un vector AX; si representamos por n un vector ortogonal al vector director de la recta, se verifica:

n.AX=0, es decir, n.(x-a)=0

Si A(x₁,y₁) y X(x,y) son las coordenadas de los puntos A y X, respectivamente, y n=(A,B), sustituyendo estas coordenadas en la expresión vectorial anterior, se tiene:

A(x-x₁)+B(y-y₁)=0 o bien: Ax+By+C=0

La igualdad anterior recibe el nombre de ecuación normal de la recta.

Mª Belén Fernández Díez de los Ríos.

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte, Política Social y Deporte 2005.