|
ECUACIón
de rectas y ecuación de circunferencias |
i. Ecuaciones de una recta
Una recta queda definida por
dos puntos. La recta es la línea que une ambos puntos y se prolonga indefinidamente.
a) Ecuación
vectorial.
La ecuación vectorial de la
recta es de la forma: OP = OA + t v, donde:
P (x ,
y) representa cualquier punto de la recta
A (a ,
b) es un punto conocido
v
(v1 , v2) es el vector director
t es cualquier número real
En coordenadas, esta
ecuación es: (x , y)= (a ,
b) + t (v1 , v2)
Ejercicio: Al
cambiar las coordenadas del punto A y las coordenadas del vector v, se obtienen distintas rectas. Dada
una recta r, si vas cambiando el
valor del parámetro t,
irás obteniendo los distintos puntos P de esa recta.
b) Ecuaciones paramétricas.
Partiendo de la
ecuación vectorial, e igualando coordenada a coordenada, obtenemos las
ecuaciones paramétricas de la recta:
x = a + t v1
y = b + t v2
c) Ecuación continua.
Despejando t en
las ecuaciones paramétricas, e igualando, tenemos la
ecuación continua de la recta:
x - a
y - b
-------- =
--------
v1
v2
Este tipo de
ecuación sólo se puede utilizar cuando el vector director tiene sus dos
coordenadas, v1 y v2, no nulas.
d) Ecuación
explícita.
Si de la
ecuación anterior despejamos y, resulta la ecuación explícita de la recta: y = m x + n, donde m es la pendiente y n la ordenada
en el origen.
e) Ecuación
punto-pendiente.
Partiendo de la ecuación
explícita de la recta, se puede obtener la ecuación: y – b = m (x - a), donde m es la pendiente y A (a , b) son las coordenadas de un punto que pertenece a la
recta. Esta forma se llama ecuación-punto pendiente de la recta.
f) Ecuación
general o implícita.
A partir de las
ecuaciones que hemos visto, agrupando todos los términos en un mismo miembro,
obtenemos la ecuación general o implícita de la recta: A x + B y + C = 0
Ejercicio: Dada la recta r cuya expresión vectorial es (x , y) = (1
, 1) + t (3 , 1), escríbela de todas las formas posibles.
ii.
Posiciones de dos rectas en el plano
En el plano, dos
rectas pueden ser paralelas, coincidentes o secantes.
Paralelas: si
tienen la misma dirección y no tienen puntos comunes.
Coincidentes: si tienen la misma dirección y todos los puntos
comunes.
Secantes: si tienen direcciones distintas y sólo tienen un
punto en común que es el punto de corte de las dos rectas.
Ejercicio: Estudia la posición relativa de los
siguientes pares de rectas indicando, cuando proceda, el punto de corte.
Compruébalo posteriormente en la escena.
a) r:
3x + y - 7 = 0
s: 3x + y + 5 = 0
b) r: x
+ y – 3 = 0
s: 2x + 2y –
6 = 0
c) r: x
+ 3y – 4 = 0
s: x + 2y + 5 = 0
iii. Rectas
paralelas y rectas perpendiculares
La recta paralela a una recta dada r
(de pendiente m) que pasa por un punto exterior a ella, P, tiene como vector
director el mismo que la recta r (y
como pendiente m)
La recta
perpendicular a una recta dada r (de pendiente m) que pasa por un punto P
tiene por vector director uno perpendicular al vector director de la recta r (y como pendiente -1/m)
Ejercicio: Calcula la recta paralela y la recta
perpendicular a la recta r que pasa
por el punto (1, 1), siendo r:
x = 3 +
3t
y = 6
– t
Comprueba
la solución en la escena anterior.
iv.
Ecuación de una circunferencia
La
circunferencia, de centro C(a , b) y radio r, está
formada por todos los puntos P(x , y) cuya distancia al centro es r.
La ecuación reducida de la circunferencia
es: (x - a)^2 + (y - b)^2 =
r^2
Desarrollando los
cuadrados en la ecuación reducida, y agrupando los términos en el primer
término, obtenemos la ecuación general
de la circunferencia: x^2 + y^2 + Cx
+ Dy + E = 0, donde:
C = -2a
D = -2b
E = a^2 + b^2 - r^2
Ejercicio: Calcula la ecuación de la circunferencia
de centro C (-2 , 1) y cuyo radio es r = 3. Comprueba
la solución en la escena anterior.
Ejercicio: Razona si el punto (-8 ,
5) es un punto de la circunferencia de centro (-1 , -3) y radio 4. ¿Cuál es la
distancia entre esos puntos? Compruébalo en la escena.
Ejercicio: Halla el centro y el radio de la
circunferencia de ecuación: x2 + y2 - 10x + 6y – 4
= 0
|
