ECUACIón de rectas y ecuación de circunferencias

 

i. Ecuaciones de una recta

Una recta queda definida por dos puntos. La recta es la línea que une ambos puntos y se prolonga indefinidamente.

 

a) Ecuación vectorial.

La ecuación vectorial de la recta es de la forma: OP = OA + t v, donde:

P (x , y) representa cualquier punto de la recta

A (a , b) es un punto conocido

v (v1 , v2) es el vector director

t es cualquier número real

En coordenadas, esta ecuación es: (x , y)= (a , b) + t  (v1 , v2)

 

Ejercicio: Al cambiar las coordenadas del punto A y las coordenadas del vector v, se obtienen distintas rectas. Dada una recta r, si vas cambiando el valor del parámetro t, irás obteniendo los distintos puntos P de esa recta.

b) Ecuaciones paramétricas.

Partiendo de la ecuación vectorial, e igualando coordenada a coordenada, obtenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:

x = a + t v1

y = b + t v2

 

c) Ecuación continua.

Despejando t en las ecuaciones paramétricas, e igualando, tenemos la ecuación continua de la recta:

 x - a y - b

--------  = --------

   v1 v2

Este tipo de ecuación sólo se puede utilizar cuando el vector director tiene sus dos coordenadas, v1 y v2, no nulas.

 

d) Ecuación explícita.

Si de la ecuación anterior despejamos y, resulta la ecuación explícita de la recta: y = m x + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen.

 

e) Ecuación punto-pendiente.

Partiendo de la ecuación explícita de la recta, se puede obtener la ecuación: y – b = m (x - a), donde m es la pendiente y A (a , b) son las coordenadas de un punto que pertenece a la recta. Esta forma se llama ecuación-punto pendiente de la recta.

 

f) Ecuación general o implícita.

A partir de las ecuaciones que hemos visto, agrupando todos los términos en un mismo miembro, obtenemos la ecuación general o implícita de la recta: A x + B y + C = 0

Ejercicio: Dada la recta r cuya expresión vectorial es (x , y) = (1 , 1) + t (3 , 1), escríbela de todas las formas posibles.

 

ii. Posiciones de dos rectas en el plano

En el plano, dos rectas pueden ser paralelas, coincidentes o secantes.

Paralelas: si tienen la misma dirección y no tienen puntos comunes.

Coincidentes: si tienen la misma dirección y todos los puntos comunes.

Secantes: si tienen direcciones distintas y sólo tienen un punto en común que es el punto de corte de las dos rectas.



Ejercicio: Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas indicando, cuando proceda, el punto de corte. Compruébalo posteriormente en la escena.

a) r: 3x + y  - 7 = 0

    s: 3x + y + 5 = 0

b) r: x + y – 3 = 0

    s: 2x + 2y – 6 = 0

c) r: x + 3y – 4 = 0

    s: x + 2y + 5 = 0

 

iii. Rectas paralelas y rectas perpendiculares

La recta paralela a una recta dada r (de pendiente m) que pasa por un punto exterior a ella, P, tiene como vector director el mismo que la recta r (y como pendiente m)

La recta perpendicular a una recta dada r (de pendiente m) que pasa por un punto P tiene por vector director uno perpendicular al vector director de la recta r (y como pendiente -1/m)

Ejercicio: Calcula la recta paralela y la recta perpendicular a la recta r que pasa por el punto (1, 1), siendo r: 

x = 3 + 3t

y = 6 – t

Comprueba la solución en la escena anterior.

 

iv. Ecuación de una circunferencia

La circunferencia, de centro C(a , b) y radio r, está formada por todos los puntos P(x , y) cuya distancia al centro es r.

La ecuación reducida de la circunferencia es: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Desarrollando los cuadrados en la ecuación reducida, y agrupando los términos en el primer término, obtenemos la ecuación general de la circunferencia: x^2 + y^2 + Cx + Dy + E = 0, donde:

C = -2a

D = -2b

E = a^2 + b^2 - r^2

Ejercicio: Calcula la ecuación de la circunferencia de centro C (-2 , 1) y cuyo radio es r = 3. Comprueba la solución en la escena anterior.

Ejercicio: Razona si el punto (-8 , 5) es un punto de la circunferencia de centro (-1 , -3) y radio 4. ¿Cuál es la distancia entre esos puntos? Compruébalo en la escena.

Ejercicio: Halla el centro y el radio de la circunferencia de ecuación: x2 + y2 - 10x + 6y – 4 = 0

 

 

María José Fuente Somavilla

 

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2007.

 

 

 

 

 

 

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