Números primos y números compuestos.

Divisibilidad.

 
NÚMERO PRIMO Y NÚMERO COMPUESTO.
 
Un número es primo si sólo es divisible por sí mismo y por 1.

Si un número no es primo diremos que es compuesto.

El 0 y el 1 son números especiales que no se consideran primos ni compuestos.

  1. Aplicando la definición halla los números primos menores que 20.
 
CRIBA DE ERATÓSTENES.
 

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia) el 276 a.C.

Entre otras cosas fue astrónomo y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a.C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría..

Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como "CRIBA DE ERATÓSTENES".

Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra.

Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en el año 194 a.C. en Alejandría.  

  1. Vamos a hallar los números primos menores que 100. Para ello haz en tu cuaderno una tabla como la siguiente en la que aparecen los números naturales desde el 2 hasta el 100 (el 1 no lo incluimos pues hemos dicho que no se considera primo ni compuesto).

  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
 

Sigue los pasos siguientes:

  1. El primer número que aparece sin tachar es el 2, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo). Tacha, a partir del 2, todos los números de 2 en 2; éstos (4, 6, 8, 10, 12,...) no son primos pues son todos divisibles por 2. La tabla te debe haber quedado como sigue:

    2.  

    		 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
    81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

  2. El siguiente número que aparece sin tachar es el 3, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo).Tacha, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, incluso los ya tachados anteriormente; éstos (3, 6, 9, 12, 15,...) no son primos pues son todos divisibles por 3. La tabla te debe haber quedado como sigue:

    3.    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
    81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

  1. El siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo). Tacha, a partir del 5, todos los números de 5 en 5, incluso los ya tachados anteriormente; éstos (5, 10, 15, 20,  25,...) no son primos pues son todos divisibles por 5. La tabla te debe haber quedado como sigue:

 

      2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
    21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
    41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
    61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
    81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

  1. Continúa este proceso mientras te sea posible seguir tachando números: El siguiente número que aparece sin tachar es el... 

           Llegarás a la tabla siguiente que contiene todos los números primos menores que 100

  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
 
 
¿CÓMO SABER SI UN NÚMERO ES PRIMO?
 
Basta con dividirlo por los números primos menores que él hasta llegar a un cociente menor que el divisor.
  • Si ninguna de estas divisiones es exacta, el número es primo.
  • Si alguna de las divisiones es exacta el número es compuesto y podemos interrumpir el proceso.

  1. Averigua si son primos los siguientes números: 357, 181, 1111, 721, 163 (utiliza los resultados obtenidos en la criba de Eratóstenes para saber cuáles son los primeros números primos).
  2. Hay parejas de números primos que son números impares consecutivos (3 y 5, 11 y 13, etc). Se les llama primos gemelos.  Halla 10 de estas parejas.
  3. Hay tres números impares consecutivos que son números primos, 3, 5 y 7. ¿Puedes encontrar otros tres? Si no lo consigues, intenta explicar el por qué.
  4. ¿Hay algún numero primo capicúa entre 200 y 300? ¿Por qué? ¿Y entre 300 y 400?
 

Esta escena te permite averiguar si un número es primo o no.

Ayúdate de ella para realizar o auto corregirte los ejercicios anteriores. 

 

A veces tendrás que conocer varios primos consecutivos para abordar determinados problemas. Si con la criba de Eratóstenes no es suficiente, la siguiente escena te permite ir hallando primos de 10 en 10 a partir de un número dado. Úsala para los siguientes ejercicios.

 

  1. Todos los números primos excepto el 2 son impares. Divide una hoja de tu cuaderno en 5 columnas (para los que acaben en 1, 3, 5, 7 y 9 respectivamente). Escribe los números primos impares menores que 500. ¿Cuál es la terminación que menos se repite? ¿Por qué? ¿Y la que más se repite? 
  2. ¿Cuál es la mayor distancia que hay entre dos de estos números primos?
  3. Anota todas las parejas de números primos impares consecutivos que has encontrado.
  4. ¿Qué números han sido capicúas?
Hay infinitos números primos. Esto fue demostrado por Euclides en el libro IX de sus Elementos de geometría.

No hay ninguna fórmula que permita hallar todos los números primos.

 

A pesar de que no hay una fórmula que permita hallar todos los números primos, existen algunas fórmulas sencillas con las que se obtienen varios primos consecutivos. Así por ejemplo:

  1. Comprueba las afirmaciones anteriores.
 
    Índice Cálculo de múltiplos y divisores Criterios de divisibilidad
  Manuel María de la Rosa Vasco
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004