MÁXIMO COMÚN DIVISOR.

 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO.

Divisibilidad.

 
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS.
 
Máximo común divisor de dos números es el mayor de sus divisores comunes.

Mínimo común múltiplo de dos números es el menor de sus múltiplos comunes distinto de cero.

  1. Escribe los divisores de 24 y 32. Rodea con un círculo los comunes. Señala el mayor de ellos. Éste será el  m.c.d.(24, 32).
  2. Escribe varios múltiplos de 24 y de 32 (hasta que haya al menos dos comunes excluido el 0). Rodea con un círculo los comunes. El menor de ellos que no sea 0 será el m.c.m.(24, 32).
  3. Calcula por el método anterior el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 14 y 24; 8 y 16; 32 y 64.
  4. Si un número a es múltiplo de otro b, cuál es el máximo común divisor de los dos? Y el mínimo común múltiplo?

Sabemos que 1 es divisor de cualquier número natural. Puede ocurrir que 1 sea el único divisor común.

Si m.c.d.(a, b) =1 se dice que los números a y b son primos entre sí. 

En este caso se verifica que m.c.m.(a, b) = ab

  1. Calcula  el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 4 y 15; 8 y 9; 5 y 7.
 

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS NÚMEROS MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.

 

Para números grandes el método anterior para el cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos números puede resultar muy largo. Se puede utilizar entonces el método de descomposición de los números en producto de factores primos.

   1. Descompondremos los números en producto de factores primos.

   2.  a) El máximo común divisor sería el producto de los factores primos comunes afectados de los menores exponentes con que aparecen en dicha descomposición.

        b) El mínimo común múltiplo sería el producto de los factores primos comunes y no comunes afectados de los mayores exponentes con que aparecen en dicha descomposición.

   Si no existen factores primos comunes, el único divisor común será el 1 y los números son primos entre sí.

  1. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes pares de números: 64 y 48; 1500 y 2500; 8 y 625.
 

Esta escena te ayudará a calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos números naturales.

Puesto que 0 y 1 no se consideran primos ni compuestos, sólo consideramos números mayores o iguales que 2.

Debes introducir dos números en los controles de la parte inferior. Si deseas ver la descomposición en factores primos de dichos números, debes pulsar en el control de la parte superior.

 
ALGORITMO DE EUCLIDES O MÉTODO DE LAS DIVISIONES SUCESIVAS.
 

 

Euclides fue un matemático griego que nació el año 365 a.C. en Alejandría, Egipto, y murió  alrededor del 300 a.C.

 Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas.

Su obra principal, Elementos de geometría, es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes que se ha utilizado como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana. En el volumen IX Euclides demuestra que la cantidad de números primos es infinita.  

Supongamos que queremos calcular m.c.d.(5293, 4757). Si no dispones de algo similar a la escena que te permite descomponer un número en factores primos y debes hacerlo "a mano", intentarás dividir estos números  por 2, 3, 5, 7, 11, 13 (quizás por algún número más) y al no obtener ninguna división exacta llegues a la conclusión errónea de que los números son primos y por tanto que su máximo común divisor es 1. Pero si sigues dividiendo por 17, 19, 23,... después de un buen rato comprobarás que 67 es divisor tanto de 5293 como de 4757.

Hay un método sencillo llamado algoritmo de Euclides o de las divisiones sucesivas que nos lleva rápidamente al máximo común divisor.

Este método se basa en dos teoremas:

   1)   Si dos números son divisibles el uno por el otro, el menor es su máximo común divisor.

   2)   Si dos números a y b (a>b) no son divisibles el uno por el otro, los divisores comunes de a y b son los mismos que los de b y r, siendo r el resto de la división entera de a entre b.

Para hallar el  m.c.d.(a, b)
  1. Dividiremos el mayor número entre el menor. Si el resto es 0, el m.c.d. es el menor.
  2. Si el resto no es 0, se divide el menor por dicho resto, a continuación este resto por el segundo, y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta.  El último divisor empleado es el máximo común divisor.

Para hallar el m.c.m.(a, b) podemos utilizar, además de los métodos ya vistos, la siguiente fórmula:

[m.c.d.(a, b)][m.c.m.(a, b)] = ab

de donde podemos despejar m.c.m.(a, b) una vez conozcamos m.c.d.(a, b).

 

 
Esta escena te permite calcular el máximo común divisor de dos números por el método de las divisiones sucesivas (algoritmo de Euclides).

Debes introducir los dos números en los controles de la parte inferior de la escena. Después podrás ver las divisiones sucesivas pulsando en el control de la parte superior de la misma.

También calcula el mínimo común múltiplo de los dos números.

  1. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de 5293 y 4757.

 

  Índice Criterios de divisibilidad
  Manuel María de la Rosa Vasco
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2004