Combinatoria. Variaciones sin repetición y Variaciones con repetición
4º de E.S.O. (Previo al concepto de Probabilidad)
Variaciones sin repetición.

   Denominamos variaciones ordinarias o sin repetición de n elementos tomados de m en m ( siendo m<=n) a cada uno de los distintos grupos de m elementos escogidos de entre los n,  de manera que:

-  En cada grupo, los m elementos sean distintos.

- Dos grupos son distintos, si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.

   El número de variaciones ordinarias lo representamos Vn,m y se calcula:

Vn,m=n.(n-1).(n-2)...(n-m+1)

EJEMPLOS RESUELTOS. ( Para aclararnos):
- En una carrera de 100 metros participan 8 corredores. ¿De cuántas formas diferentes se podrían repartir las medallas de oro, plata y bronce?  Sol: V8,3 = 8 x 7 x 6 = 336 formas diferentes de podium
- Un entrenador de fútbol dispone  en la plantilla de su equipo de 7 delanteros de la misma calidad y que pueden actuar indistintamente en los tres puestos de ataque del equipo. ¿ Cuántas delanteras distintas podría confeccionar? Sol: V7,3 = 7 x 6 x 5 = 210 tripletas de ataque
- ¿ De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entre  Juan, Pedro, María Alicia y Pilar.? Sol: V5,3 = 5 x 4 x 3 = 60 formas distintas de reparto

  

   En la siguiente escena o pizarra interactiva, te aparecen la fórmula general de cálculo para las variaciones ordinarias y un calculador de las mismas para los distintos valores que se dan a los controles " n "  y " m " situados en la parte inferior

  Así mismo; si pulsas en el control "ejemplo" el valor 1; puedes formar algunas variaciones ( n<= 10)  con un ejercicio concreto que se enuncia con unos valores por defecto ( n= 5 ) ( m = 3 ) pero que tú puedes cambiar.

1. Manipula los controles y calcula algunas variaciones concretas. Observa las limitaciones del cálculo y la imposibilidad del mismo cuando m>n.
 2. Cambia el control       " ejemplo" a la posición "1". Observa que puedes razonar de fácilmente  como se formarían las variaciones de 5 elementos tomados de 3 en 3. Los elementos 1,2,3, ,... puedes moverlos con el ratón si pinchas y arrastras con el mismo hasta  los casilleros de la parte superior.
a) ¿Cuántas posibilidades hay para mover elementos al primer casillero?      
b) ¿ Y para el segundo una vez que se ha fijado un elemento en el primero?
c) Haz lo mismo para el tercer casillero.
d) Cuántas posibilidades has contado en total?
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ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
 3.  Cambia el control "n" a 6 y el control "m" a 4. Analiza del mismo modo anterior las posibilidades de formación de los grupos.
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4. Haz algunos cambios más en los controles. Anota en el cuaderno los resultados que obtengas.
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Variaciones con repetición.

   Denominamos variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m ( obsérvese que no hay restricción alguna en cuanto a los valores de n y m )  a los distintos grupos de m elementos, repetidos o no, que se pueden formar. Considerando:

- En cada grupo hay m elementos repetidos o no.

- Dos agrupaciones son diferentes si difieren en algún elemento o en el orden de colocación.

   Al número de variaciones con repetición lo notaremos, VRn,m y se calculará:

VRn,m =nm

EJEMPLOS RESUELTOS ( Para aclararnos):
- En una quiniela de fútbol, sin tener en la calidad de los equipos. ¿ Cuántas posibilidades distintas pueden darse?  Sol: VR3,14= 314 = 4782969 quinielas diferentes
- Cuántos resultados diferentes se producen al lanzar 5 dados de distinto color y anotar los resultados de la cara superior? Sol: VR6,5 = 65 = 7776 resultados diferentes
- Con un punto y una raya ( símbolos clásicos del alfabeto Morse) ¿ Cuántas señales distintas de 5 dígitos pueden hacerse? Sol: VR2,5 = 25 = 32 señales distintas

 

  En las dos siguientes  escenas  puedes trabajar con la fórmula de las variaciones con repetición y con ejemplos concretos de variaciones con repetición respectivamente.

 

5. Observa la fórmula que permite el cálculo de las variaciones con repetición y efectúa algunos cálculos concretos manipulando los controles " n " y " m ". En este caso m puede ser perfectamente mayor que n. ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.                                                                                                 
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6.  Ahora puedes simular el lanzamiento de varias monedas. La escena permite hasta 10. Por defecto, se  presenta la simulación de 5 monedas. Mueve el control " tirar " y observa los resultados que se producen. ¿ Cuántos resultados distintos se pueden presentar ? ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
7.  Ahora cambia el control " monedas " a "4" y anota los resultados que obtienes lanzando 20 veces. ¿ Te han salido todos los resultados posibles ?ANOTA LOS RESULTADOS EN TU CUADERNO DE TRABAJO.
8.  Cambia el número de monedas al que desees y simula algunos lanzamientos. Observa si es más habitual que salgan parecidos números de caras y cruces .
 
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Juan Jesús Cañas Escamilla
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005