VECTORES EN EL PLANO
GEOMETRÍA ANALÍTICA

VECTORES EN EL PLANO

INDICE 

Introducción 

Objetivos

  1. Vectores. Relación entre puntos y vectores.
  2. Las coordenadas de un vector.
  3. Módulo de un vector.
  4. Suma y resta de vectores. Regla del paralelogramo. Producto de un número por un vector.Vector opuesto.    

INTRODUCCIÓN

En esta unidad abordaremos el estudio de los vectores en el plano y sus operaciones.
Introduciremos las características de un vector y la relación entre puntos y vectores.
También calcularemos el módulo de un vector, terminando con las operaciones suma y resta de vectores, y producto de un número por un vector.


OBJETIVOS

  • Introducir el concepto de vector y sus coordenadas.
  • Operar con vectores utilizando las coordenadas.
  • Calcular el módulo de un vector.
  • Obtener la regla del paralelogramo.
             1. VECTORES. RELACIÓN ENTRE PUNTOS Y VECTORES

      Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por OP . El punto O es el origen y el punto P es el extremo.
Características de  

  1. El módulo: es su longitud.La dirección: es la dirección de la recta que lo contiene.El sentido: es el que va del origen al extremo.

Dado un vector cuyo origen, O, es el origen de coordenadas, sus componentes coinciden con las coordenadas del extremo del vector, P, y viceversa.

Ejercicio

Dado el punto P(3,5), halla el vector OP, represéntalo en tu cuaderno y halla sus componentes. Comprueba que coincide con la escena correspondiente. Cambia los valores de a y b de la escena y observa  como el punto P(a,b) corresponde con las  coordenadas  del vector  OP(a,b).

Solución: El vector es v(3,5), la componente horizontal es 3, y la vertical, 5.

             2. LAS COORDENADAS DE UN VECTOR.
Si se tienen los puntos A(x,y) y B(x’,y’), el vector AB es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B. Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo B menos las del origen A:   AB = (x’-x , y’-y)

Ejercicio: 

Dibuja el  vector AB siendo A(2,1) y B(6,6) en tu cuaderno y comprueba que coincide con la escena correspondiente.

             3. MÓDULO DE UN VECTOR.
El módulo de un vector es su longitud. Se representa como |v|.
El cálculo del módulo de un vector es, en realidad, la aplicación del Teorema de Pitágoras, que consiste en hallar la hipotenusa cuando se conocen los catetos,siendo la hipotenusa el vector dado v, y los catetos las coordenadas de dicho vector,a y b:
|v(a,b)|= sqrt(a^2+b^2)

Ejercicio

Calcula el módulo del vector v(-3,-4).

Comprueba con la escena que el resultado es correcto y cambia los valores de a y b de dicha escena y observa como varia el módulo del vector v(a,b).

             4. SUMA Y RESTA DE VECTORES. REGLA DEL PARALELOGRAMO. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR. VECTOR OPUESTO

Para

La regla del paralelogramo dice: para sumar y restar vectores geométricamente, se forma un paralelogramo uniendo por el origen los vectoresv. La diagonal que parte del origen de es el vector suma v; y la diagonal que parte del extremo de v.

Ejercicio

Dados los vectores u(6,2) y v(3,4), calcula u + v  u-v, anota en el cuaderno el resultado y comprueba que es correcto en la escena correspondiente

Solución: u + v = (6,2) + (3,4) = (9,6)

Para multiplicar un número por un vector analíticamente, se multiplica el número por las componentes del vector. Para multiplicar un número por un vector geométricamente, se lleva tantas veces el vector sobre sí mismo como indique el número.

Ejercicio

Multiplica por 3 el vector v(2,2)

anota en tu cuaderno el resultado analítico y comprueba que coincide con el resultado geométrico de la escena.

Dale valores al escalar k y a las coordenadas del vector u y observa como varia.

Solución: 3v = 3(2,2) = (6,6)

Vector opuesto:analíticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes; geométricamente, es el que tiene el mismo módulo y dirección y sentidoEjemplo.

El opuesto del vector v(2,2) es -v(-2,-2)

Comprobación (2,2) + (-2,-2) = (0,0) = 0

  Angélica Huerta Guijarro
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009
 
 

Licencia de Creative Commons
Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.