VII.
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES:
dos vectores libres del plano son
- linealmente dependientes cuando son paralelos, y por tanto
podemos escribir cada uno de ellos como combinación lineal del otro.
- linealmente independientes cuando son no paralelos, y por tanto
es imposible escribir uno de ellos como combinación lineal del otro
29. De los pares de vectores que ves en la escena di cuáles son linealmente dependientes e independientes. Para los que sean linealmente dependientes escribe las combinaciones lineales que permiten escribir cada uno de ellos en función del otro.(Para ello puedes moverlos, como siempre) Después compruébalo pulsando el botón azul del control combinaciones lineales.
30. ¿Que conclusiones extraes acerca del comportamiento del vector cero en cuanto a la dependencia lineal?
31. Dibuja en tu cuaderno dos vectores linealmente independientes y dos linealmente dependientes, y para éstos, las combinaciones lineales correspondientes.
VIII.
BASE
DE UN ESPACIO VECTORIAL: dos vectores a y b de V2
, linealmente independientes, forman una base de V2 ,
puesto que cualquier vector de V2 , incluso ellos mismos, se puede
escribir como combinación lineal de a y b, es decir, estos dos vectores generan
todo el espacio vectorial.
Al conjunto formado por un punto cualquiera del plano, O, sobre el que
situaremos los orígenes de a y b, y los dos vectores a y b, lo llamamos sistema
de referencia en el plano, y lo denotamos (O, a, b)
32. En la escena puedes ver un
sistema de referencia en el plano (O,a,b) y otros vectores, c, d
y e. Intenta encontrar las combinaciones lineales que permite
expresar c, d, y e en la base (a,b).
*Para
ello vamos a usar la regla del paralelogramo para la suma de vectores.
Una vez que tengas cada vector con su origen situado sobre O, aparecerá
en su extremo un puntito amarillo, que junto con los que aparecen en los
extremos de a y b, pinchando y arrastrando, te permitirán formar el
paralelogramo que te indicará la combinaciones lineales.
IX. COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE: llamamos coordenadas de un vector v en una base (a,b) a los coeficientes que permiten expresar v como combinación lineal de a y b. Por ejemplo, si v=x.a+y.b, entonces decimos que v=(x,y) en la base (a,b)
34. Busca las coordenadas de v en las bases (a,b) y (c,d), utilizando de nuevo la regla del paralelogramo, y anótalas en tu cuaderno.
35. Cuáles son las coordenadas de a y de b en la base (a,b)?
36. Cuáles son las coordenadas de c y de d en la base (c,d)?
37. ¿Cuáles crees que son las coordenadas del vector cero en cualquier base?
38. Dibuja en tu cuaderno un sistema de referencia en el plano y expresa otros vectores inventados por ti mismo en esa base.
39. Si tuviese que escoger una base de V2 para trabajar siempre con ella ¿Cuál escogerías para simplificar el trabajo lo más posible?.
X. DE V2 a R2 : Al establecer un sistema de referencia en el plano podemos expresar todos los vectores de V2 mediante un par de números (x,y). A los vectores así expresados los llamamos vectores numéricos, y son mucho más manejables que los vectores geométricos. Al conjunto de los vectores numéricos del plano lo llamamos R2 , pero esa ya es otra historia...........
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