4. La circunferencia goniométrica y las razones trigonométricas

Para interpretar y extender las definiciones de las razones trigonométricas a cualquier ángulo, y no únicamente a los triángulos acutángulos^4.1, se representan las razones trigonométricas en una circunferencia de radio 1, a la cual se denomina circunferencia goniométrica.

Figure 4.1: Relación y representación de las razones trigonométricas

Es posible observar, entonces, que el seno de un ángulo corresponde con la proyección sobre el eje $Y$ del radio, una vez colocado en el ángulo adecuado respecto al eje $X$ positivo. A su vez, el coseno del ángulo corresponde con la proyección sobre el eje $X$.

También se puede interpretar la tangente y la cotangente como se indican en el gráfico. Las medidas de las proyecciones del radio se pueden identificar con la medida de la prolongación del radio.

Se fácil representar, además, la $\sec\alpha$ y la $\cosec\alpha$, pero como se superponen sobre el radio, se ha preferido dejar el trabajo de su identificación al alumno.

Se considera más interesante que el alumno manipule estos elementos por sı mismos, en lugar de una explicación textual. Por esto se proponen el siguiente ejercicio:

Ejercicio 3   Utiliza el applet interactivo para realizar las siguientes actividades:

1. Utilizando los controles que puedes encontrar bajo el applet, activa únicamente el seno y el coseno (poniendo los demás a cero). Moviendo el punto de control sobre la circunferencia, comprueba los valores que toman, respectivamente, el seno y el coseno a medida que recorres con el punto de control la circunferencia.
2. Utilizando los controles que puedes encontrar bajo el applet, activa únicamente la tangente y la secante (poniendo los demás a cero). Moviendo el punto de control sobre la circunferencia, comprueba los valores que toman, respectivamente, la tangente y la secante a medida que recorres con el punto de control la circunferencia.
3. Utilizando los controles que puedes encontrar bajo el applet, activa únicamente la cotangente y la cosecante (poniendo los demás a cero). Moviendo el punto de control sobre la circunferencia, comprueba los valores que toman, respectivamente, la tangente y la secante a medida que recorres con el punto de control la circunferencia.
4. Ahora, para cada razón trigonométrica, lleva a cabo la siguiente actividad: desactiva todas las razones (poniendo todos los controles a cero) y moviendo el punto de control a lo largo de la circunferencia, intenta adivinar cuanto valdrıa (aproximadamente). Después lo compruebas activando la razón correspondiente.