Teoremas del valor medio
Demostraciones
Teorema del valor medio (Lagrange)
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable al menos en su interior (a,b), entonces existirá al menos un punto interior en el que el valor de la derivada es la variación media de la función en el intervalo.
Para demostrarlo emplearemos una función auxiliar g(x) , relacionada con f(x), a la que aplicaremos el teorema de Rolle y desarrollando la consecuencia en g(x) obtendremos la conclusión deseada en f(x).
Sea 
Al ser composición lineal de dos funciones , f(x) y x , ambas continuas en el cerrado [a , b] también será continua en dicho intervalo y de igual manera al ser composición lineal de dos funciones f(x) y x, ambas derivables en el abierto (a , b), también será derivable en (a , b )
Por último es fácil ver que toma igual valor en a y en b
g(a) = (b-a)*f(a) - ( f(b) - f(a))*a = b*f(a) – a*f(a) –f(b)*a +f(a)*a = b*f(a) – a*f(b)
g(b) = (b-a)*f(b) - (f(b) - f(a))*b = b*f(b) - a*f(b) -f(b)*b +f(a)*b = f(a)*b - a*f(b)
evidentemente iguales.
Por tanto esta función g(x) cumple las hipótesis de Rolle y como consecuencia su tésis: Existe un punto en el que g ' (x) = 0.
g '(x) = (b-a)* f ' (x) - (f(b)-f(a))*1 que al anularse en un punto hace que:
y esto último es lo que queríamos demostrar " que existe un punto en el que
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Félix Carrascosa Izquierdo
I.E.S. Dámaso Alonso
Puertollano