SISTEMAS DE ECUACIONES

 

ECUACIONES LINEALES

 

Las ecuaciones siguientes son lineales:

2x-3 = 0, 5x+4y = 20, 3x+2y+6z = 6, 5x-3y+z-5t = 0

pues tienen la peculiaridad de que son polinómicas de grado 1.

Ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas

 

Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas (si los hay) que hacen cierta la igualdad.

Ejemplo:

La ecuación 2x + 2 = 0, solución x = - 1

La ecuación 3x - y = - 5, solución x = 0 , y = 5

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano. Y sus soluciones son los puntos del plano, por los que pasa la recta.

 

ECUACIONES EQUIVALENTES

 

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución ( o mismas soluciones)

Si a los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera.

 

* Dada la ecuación 3x + 6y = 6

 

 

 

 


 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

 

Varias ecuaciones dadas conjuntamente con el fin de determinar la solución o las soluciones comunes a todas ellas, es un sistema de ecuaciones.

 

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas representa un conjunto de rectas. Su resolución consiste en averiguar si todas ellas tienen algún punto en común y localizarlo.

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas en un conjunto de dos ecuaciones que son satisfechas simultáneamente por ninguno, uno o más grupos de valores de las incógnitas.

Dos ecuaciones para las que se busca una solución común forman un sistema de dos ecuaciones.

a x + b y = c

d x + e y = f

 

MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES.

Para obtener la solución del sistema de ecuaciones , representamos gráficamente cada una de las ecuaciones del sistema, a partir de los datos de sus respectivos tablas de valores. Los puntos de corte de las respectivas rectas será la solución del sistema.

a x + b y = c

d x + e y = f

 

 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EQUIVALENTES

 

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si ambos tienen las mismas soluciones.

Dos sistemas pueden ser equivalentes sin que lo sean las ecuaciones que los forman.

 

Para obtener sistemas equivalentes podemos realizar las siguientes transformaciones:

 

* Dado el siguiente sistema:

2x + 3y = 9

3x - 5y = 4

- Buscar la solución del sistema, modificando los controles, para la segunda ecuación.

- Comprobar que sucede si multiplicamos por 5 todos los términos de la segundo ecuación del sistema.

- Comprobar que sucede si multiplicamos por 2 los términos del primer miembro de la segunda ecuación del sistema.

- Sustituye la segunda ecuación por el resultado de sumarle otra multiplicada por un número y busca su solución.

 

 


TIPOS DE SISTEMAS SEGÚN SU SOLUCIÓN

 

Un sistema de ecuaciones pueden tener solución ( compatible ) o no tener solución ( incompatible ).

Los sistemas compatibles pueden tener una solución ( determinado ) o infinitas soluciones ( indeterminado ).

 

 

Al representar gráficamente las dos ecuaciones de un sistema con dos incógnitas, podemos encontrar las siguientes situaciones:

Las dos rectas se cortan en un punto. Sistemas compatible determinado............................................... ..................................................................................................a / a# b / b= c / c

Las dos rectas coinciden. Sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones..................................................................................a / a= b / b= c / c

Las dos rectas no tienen ningún punto en común; son paralelas. Sistema incompatible, no tiene solución. ..................................................................................................a / a= b / b# c / c

 

 

 

* Dado el siguiente sistema comprueba como se modifica la solución del sistema en los siguientes casos:

2x + y = 1

3x + 2y = 4

1) - Si multiplicamos por un mismo número todos los términos de una ecuación

2) - Si igualamos los coeficientes de x e y.

3) - Si sumamos un mismo número a los dos miembros de una ecuación.

4) - Si modificamos el coeficiente de la x e y de una ecuación.

5) - Si los coeficientes y los términos independientes son proporcionales.

 

* Comprobar si los siguientes sistemas son compatibles o no:

4 x = 5

x + y = 6

y + x = 30

y - x = 24

y + x = 3 0

- 2 x = - 6

 

 

 

 

 


Ana Isabel Lago Mestre
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003