En este capítulo vamos a estudiar las propiedades de los límites en relación con las operaciones aritméticas básicas. Estas propiedades son muy importantes para encontrar métodos sencillos y prácticos de cálculo de límites.

"Sean f y g dos funciones con límite en el punto a, respectivamente b y c. Entonces la función f+g también tiene límite en el punto a y vale b+c".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su suma. Las líneas verdes horizontales representan un entorno de radio e alrededor del punto b+c. Las líneas grises horizontales representan entornos de radio e/2 alrededor de los puntos b y c respectivamente. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a.

1.- Selecciona un valor para e. Ampliando la imagen si fuera preciso averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) dista de b menos que e/2. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

2.- Con el mismo valor de e que en el apartado anterior averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad g(x) dista de c menos que e/2. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de la distancia entre (f+g)(x) y b+c?

4.- ¿Puede afirmarse lo mismo si hago que e tome cualquier otro valor?

Observa ahora la siguiente desigualdad:

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de e (mayor que cero) es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces la distancia entre f(x) y b es menor que e/2 y la distancia entre g(x) y c también, por lo tanto la distancia entre (f+g)(x) y b+c es menor que e.

En otras palabras, el límite de f+g cuando x tiende al punto a es b+c.

"Sean f y g dos funciones con límite en el punto a, respectivamente b y c. Entonces la función fg también tiene límite en el punto a y vale bc".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: Las funciones de color amarillo son f y g. La función de color turquesa es su producto. Las líneas verdes horizontales representan un entorno de radio e alrededor del punto bc. Las líneas grises horizontales representan entornos de radio e/2m y e/2b alrededor de los puntos b y c respectivamente, siendo m una cota de la función g(x) en un cierto entorno de a (en nuestro caso m=3). Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a.

1.- Selecciona un valor para e. Ampliando la imagen si fuera preciso averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad g(x) está acotada por cierto valor m (en nuestro caso debes suponer m=3). Anota el valor de d obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

2.- Con el mismo valor de e. Ampliando la imagen si fuera preciso averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) dista de b menos que e/2m, siendo m el valor del apartado anterior. Anota el valor de d obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Con el mismo valor de e que en el apartado anterior averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad g(x) dista de c menos que e/2b. Anota el valor de d obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

4.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los tres que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de la distancia entre (fg)(x) y bc?

5.- ¿Puede afirmarse lo mismo si hago que e tome cualquier otro valor?

Observa ahora la siguiente cadena de desigualdades:

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de e (mayor que cero) es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces, |g(x)| es menor que m, la distancia entre f(x) y b es menor que e/2m y la distancia entre g(x) y c es menor que e/2b. Por lo tanto, la distancia entre (fg)(x) y bc es menor que e.

En otras palabras, el límite de fg cuando x tiende al punto a es bc.

"Sea f(x) una función con límite en el punto a, igual a b y b distinto de cero. Entonces la función 1/f(x) también tiene límite en el punto a y vale 1/b".

Es decir

Las características de la gráfica son las siguientes: La función de color amarillo es f. La función de color turquesa es su inversa. Las líneas verdes horizontales representan un entorno de radio e alrededor del punto 1/b. Las líneas rojas horizontales representan cotas superiores e inferiores de la función f(x) en un entorno del punto a. Las líneas grises horizontales representan un entorno de radio bme alrededor del punto b. Las líneas azules verticales representan un entorno de radio d alrededor del punto a.

1.- Modifica el valor de m hasta conseguir una cota inferior de f(x) que sea positiva. Una vez conseguido, halla algún valor d para el que si x dista de a menos que d f(x) es mayor que m con toda seguridad. Anota el valor de d obtenido. ¿Es siempre posible hallar un tal valor de m por muy pequeño que sea b? Razona la respuesta.

2.- Selecciona un valor de e. Ampliando la imagen si fuera preciso averigua para qué valor de d se cumple que si x dista de a menos que d con toda seguridad f(x) dista de b menos que bme, siendo m el valor del apartado anterior. Anota el valor de d obtenido. ¿Es siempre posible encontrar un valor d que cumpla esta condición? ¿Por qué?

3.- Haz ahora que d tome el valor más pequeño de los dos que has obtenido y contesta a la siguiente cuestión. Si x está dentro del intervalo limitado por las rectas verticales azules ¿qué puede afirmarse de la distancia entre 1/f(x) y 1/b?

4.- ¿Puede afirmarse lo mismo si hago que e tome cualquier otro valor?

Observa ahora la siguiente cadena de desigualdades:

Si has contestado satisfactoriamente a las preguntas anteriores habrás obtenido que sea cual sea el valor de e (mayor que cero) es posible encontrar otro número positivo d tal que si la distancia entre x y a es menor que d, entonces, |f(x)| es mayor que m>0 y la distancia entre f(x) y b es menor que |b|me. Por lo tanto, la distancia entre 1/f(x) y 1/b es menor que e.

En otras palabras, el límite de 1/f(x) cuando x tiende al punto a es 1/b.

"Sea f(x)=k una función constante. El límite de f(x) en el punto a es k".

Es decir

Haz que x se aproxime al punto a. ¿A quién se aproxima f(x)?

"Se considera la función identidad: f(x)=x. El límite de f(x) en el punto a es a".

Es decir

Haz que x se aproxime al punto a. ¿A quién se aproxima f(x)?

Las siguientes afirmaciones son consecuencia directa de las propiedades anteriores. Demuéstralas como ejercicio: