Producto de los n primeros términos de una progresión geométrica

Queremos obtener una fórmula que nos permita calcularlo. Nos basaremos en la siguiente 

Propiedad: Si consideramos n términos de una progresión geométrica, el producto de dos términos equidistantes de los extremos coincide con el producto de estos extremos.

En efecto, si consideramos por ejemplo los seis primeros términos de la progresión

a₁ = 1, a₂ = 2,a₃ = 4,a₄ = 8,a₅ = 16, a₆ = 32,

• el producto a₁ · a₆ puede interpretarse como el área de un rectángulo de base 32 y altura 1;
• el producto a₂ · a₅ es el área de un rectángulo de base 16 y altura 2: este rectángulo puede obtenerse cortando el anterior por la mitad y poniendo las dos mitades una encima de otra: evidentemente, no hemos añadido ni quitado nada, y por lo tanto los dos rectángulos tienen la misma área.
• el producto a₃ · a₄ es el área de un rectángulo de base 8 y altura 4, que podemos obtener a partir del anterior por el mismo procedimiento de cortar y pegar: no hay, pues, variación del área. 

Tienes estos productos representados en la siguiente escena, donde puedes comprobar que la propiedad sigue siendo válida si cambias el valor del primer término, a₁.

Y en esta otra escena, puedes comprobar que la propiedad vale para cualquier progresión:

En general, se demuestra que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica vale:

 

Concepción Sanchis Sanz  Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009.