PROGRESIONES
SI SUMAMOS
INFINITAS LONGITUDES - SU SUMA PUEDE SER FINITA.(*)RECORDAMOS: Progresiónes geométricas
ACTIVIDADES:
1.-Anota en tu cuaderno:
a)-Siete términos de una progresión geométrica.
b)-La fórmula que permite calcular el
término general de una Progresión geométrica.c)-La fórmula que permite calcular la
suma de los n primeros términos.d)-Calcula el
término general de la progresión del apartado a).e)-Calcula la
suma de los 7 primeros términos de la progresión del apartado a)SUMA DE INFINITOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA
SI LA RAZON ESTA ENTRE:
-1 < r < 1
EJEMPLO.A1= 6
es el valor del primer término (azul). (Primera longitud).r
= 1/2 , es la razónn
= número de términos que sumamos. Suma (rojo)Por muchos términos que sumes
nunca llegas al doble de A1 , es decir a 12(
de hecho, cada vez se suma la mitad de lo que falta para ser 12)Comprueba el ejemplo en la escena siguiente:
ACTIVIDADES:
2.-Suma tantos elementos como quieras(cambiando n).Máximo 12
Modifica el primer término A1 y suma tantos elementos como quieras
3.-Comprueba la aserción (*) en cada caso.
(modifica la escala y la posición de los ejes si lo necesitas)
AHORA A1=4 y puedes MODIFICAR LA RAZON (pon la que quieras,positiva entre 0 y 1) y suma términos consecutivos
ACTIVIDADES:
5.- Para A1=4 y r=0.6 calcula, con la fórmula, la suma de los infinitos términos y anótala en tu cuaderno.
6.- Comprueba en la escena, que al sumar términos, te aproximas al valor calculado.
SUMA DE INFINITOS TERMINOS DE UNA PROGRESION GEOMETRICA
si: r>1En este caso, (al sumar términos) la suma se hace tan grande como queramos, es decir, la suma es infinita
ACTIVIDADES:
7.-Comprueba que la fórmula de la suma de n términos tiene límite infinito cuando n tiende a infinito. (Anótalo en tu cuaderno)
8.- Si A1= 1,8 y r=1,4 ¿Cúantos términos tendríamos que sumar para llegar a 1000?
9.- Cambia A1 y r y supera cualquier valor que te propongas sumando los términos necesarios
UNA FIGURA Y DOS PROGRESIONES MUY DIFERENTES
copo de nieve
paso 1: partimos de una figura (triángulo equilátero). Calculamos su perímetro P1 y su superficie S1. Paso 2: Dividimos cada lado de la figura en tres partes iguales, y sobre la parte central de cada lado levantamos otro triángulo equilatero. Paso 3: quitamos las bases de los triángulos , nos queda una figura (estrella). Calculamos su perímetro P2 y su superficie S2Paso 4: Iniciamos nuevamente el paso 2
Observa el paso 1 y 2 si cambias m
Observa como se genera sucesivamente.
Gif tomado de: ( http://club.idecnet.com/~azurdoza/fractal/f_koch.htm)
Las áreas y los perímetros de las sucesivas figuras vienen dados por las expresiones siguientes considerando: un sumando para la primera figura, dos sumandos para la segunda figura, tres sumandos para la tercera figura , ...
ACTIVIDAD: Los primeros sumandos de ámbas expresiones representan el
área y el perímetro del triángulo respectivamente. (L=lado del triángulo)10.-
Anota en tu cuaderno ámbas expresiones. Prescindiendo del primer sumando en ámbas expresiones, el resto de los sumandos, son términos de dos progresiones geométricas. Localiza la razón de cada una de ellas.11.- Calcula en cada una de estas progresiones la suma de sus infinitos elementos.
12.- Calcula el valor de A (área limite) y el valor de P (perímetro límite) . ¿curioso?
copo de nieve
Es curioso que un área finita tenga contorno (frontera) infinita pasos indica el número de veces que dibujamos la figura. (paso 0 triángulo, paso 1 estrella , etc). Los marcadores indican el área y perímetro según el paso.La figura
sólo se representa en los pasos 0,1,2 y 3. ACTIVIDADES (con la escena superior)13.- Para cada valor del lado observa que,
al aumentar los pasos ,el área se estabiliza en torno a un valor, mientras que el perímetro aumenta indefinidamente.14.- Para L=6, paso=3, calcula el área y perímetro en tu cuaderno. Comprueba que sale lo que te indica la escena.
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