PROGRAMACIÓN LINEAL 2
Algebra
 
1. UN PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL

Estos problemas consisten en encontrar el valor máximo o mínimo de una función lineal Ax+By=Z que toma valores en los puntos (x,y) de un recinto. Esencialmente constan de una función objetivo, la que queremos optimizar, y una serie de restricciones que representan el recinto y que son desigualdades como las del apartado anterior.

Debes entender que trabajamos con una familia de rectas, una para cada valor de Z , y se trata de localizar el valor máximo o mínimo de Z cuando toma valores dentro del recinto.

1.- Vas a ver representadas las restricciones, una recta que es la función objetivo y sobre ella un punto P que cumple dos funciones, la de arrastrar la recta por el plano y la de calcular el valor Z que toma A·x+B·y en ese punto P y que puedes verlo en la parte inferior izquierda de la escena.
  OBJETIVO: Hallar el punto P en el que la función objetivo Ax+By toma su valor máximo o su valor mínimo.

2.- Selecciona, arrastrando con el ratón, algunos puntos P y localiza la región factible. Comprueba los bordes del recinto y los vértices.

Para utilizar un punto específico tecléalo y pulsa enter.

3.- Selecciona puntos P=(x,y) en la región factible y observa el valor que toma la función objetivo en esos puntos. Asegúrate de tomar puntos que estén en los bordes del recinto, especialmente en los vértices.

3.- Localiza los puntos en los que la función objetivo alcanza el valor máximo y el valor mínimo.

4.- Anota en tu cuaderno los valores de x e y en los que la función objetivo alcanza el máximo y el mínimo. Anota también el valor máximo y mínimo de la función objetivo

Los valores óptimos de la función objetivo se alcanzan en los vértices de la región factible si ésta es cerrada.
2. OTRO PROBLEMA CAMBIANDO LA FUNCIÓN OBJETIVO
En algunos casos la función objetivo alcanza el máximo o el mínimo en muchos puntos, es decir, hay infinitas soluciones que se encuentran en el borde del recinto, en un segmento o en una semirrecta
1.- Ahora puedes elegir la función que deseas optimizar. Observa que hay dos parámetros nuevos A y B que son los coeficientes de la función objetivo. Puedes modificarlos escribiendo otros valores. En esta escena hemos cambiado también las restricciones. Si quieres que los cálculos sean más exactos introduce los valores x, y, A, B a través del teclado.
 Usa los pulsadores de colores que hay junto a los parámetros o teclea el valor deseado. Puedes mover P con el ratón
El botón Inicio restaura los valores iniciales.

2.- Selecciona puntos P=(x,y) y halla la región factible  

3.- Selecciona puntos P(x,y) en la región factible y fíjate en el valor que toma la función objetivo en esos puntos especialmente en los vértices.

4.- Localiza los puntos en los que la función objetivo alcanza el valor máximo y el valor mínimo. Anota en tu cuaderno estas restricciones y la función objetivo. Anota también tus conclusiones.

5.- Elige una función objetivo con coeficientes A y B iguales o proporcionales a los de alguna de las restricciones (por ej A=2, B=-1). Localiza los puntos (x,y) donde se alcanza el máximo y el mínimo de Z. Fíjate bien en los bordes. Anota en tu cuaderno el problema elegido y tus conclusiones

Los óptimos pueden ser muchos pero estarán situados en los segmentos o semirrectas que definen el borde del recinto
3. OTRO PROBLEMA CON UN RECINTO ABIERTO
Algunas restricciones nos pueden conducir a recintos abiertos. En este caso puede que no existan el máximo o el mínimo..
1.- Localiza la región factible moviendo el punto P=(x,y) por las distintas regiones y observando el valor que toman las restricciones. En este ejemplo las restricciones nos llevan a un recinto que no está limitado por una recta en uno de sus bordes, se trata de un recinto abierto. 
Puedes ver lo que ocurre en esa dirección moviendo el origen de coordenadas a través de O.x y O.y en el menú exterior. Te sugiero que teclees O.x=-250 O.y=150 y ENTER

2.- Observa el valor que toma la función objetivo tomando P dentro de este recinto y trata de localizar los valores máximo y mínimo. Observarás que esta función tiene un mínimo pero nunca alcanza su valor máximo. Copia en tu cuaderno la gráfica, las restricciones y la función objetivo. Anota los valores (x,y) en los que Z alcanza el mínimo y anota también el valor mínimo para Z.

3.- Elige otra función objetivo cambiando los parámetros A y B de forma que sean iguales o proporcionales a alguna restricción. Por ejemplo A=2 y B=4. Busca el máximo y el mínimo. Anota en tu cuaderno las soluciones.

Esta función alcanza el mínimo en todos los puntos (x,y) del segmento BC. Nunca alcanza el máximo.

4.- Prueba otra vez con A=2 y B=-1 y anota en tu cuaderno las soluciones.

La función objetivo alcanza el mínimo en todos los puntos (x,y) de una semirrecta de ecuación 2x-y=1 con x>=2. El valor mínimo es Z=1. No alcanza el máximo.

5.- Prueba con A=2 y B=-6. Anota las soluciones

La función objetivo alcanza el máximo en todos los puntos de una semirrecta de ecuación x-3y=-2 con x>=4. Esta función no alcanza el mínimo.

Si la región factible es abierta es posible que no exista un valor óptimo, máximo o mínimo, para la función objetivo
       
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001