Logotipo de Descartes 3 PROBLEMAS AFÍNS
Xeometría
 
5. Perpendicular dende un punto a un plano
A recta r que pasa por un punto P e é perpendicular a un plano π obtense utilizando como vector director da recta, d, o vector normal do plano, vector normal.
Calculando o punto de corte da recta e do plano pódese calcular a distancia entre o punto P e o plano π, e tamén o simetrico do punto P respecto do plano.

 
Exemplo resolto
Recta que pasa por P(1,0,1) e corta perpendicualrmente ao plano ecuación do plano pi.

» O vector director da recta é o vector normal do plano: vector director da recta

As ecuacións parámetricas da recta perpendicular: ecuacións paramétricas
» Para calcular o punto de corte M, substitúese un punto xenerico da recta punto xenérico da rectana ecuación do planointersección da recta co plano.
Daquela punto de corte
6.  Perpendicular dende un punto a unha recta
A recta s que pasa por un punto P e é perpendicular a unha recta r pode obterse por varios métodos.
Un deles consiste en obter o plano α que é perpendicular a r e contén a P, e o plano β que contén a r e a P.
A intersección destes dous planos será a recta buscada.

Na escena pode verse a construcción do exemplo resolto

 		 Exemplo resolto.
Recta que pasa por P(3,-2,1) e corta perpendicualrmente á recta ecuación da recta r
» O plano α que é perpendicular á recta r ten como vector normal vector normal do plano alfa.polo que a súa ecuación é ecuación do plano alfa incompleta.
Como pasa por P, substituindo as súas coordenadas na ecuación do plano -2+2+d=0 queda d=0
ecuación do plano alfa
» O plano β contén a r polo que un dos seus vectores directores será d, o outro é o vector que une o punto A(3,-1,0) da recta e P (2,-1,1). O vector normal será o produto vectorial destes dous
vcetor normal do plano beta
A ecuación  do plano será ecuación do plano beta incompleta e substituindo de novo o punto P:
ecuación do ppano beta
» A ecuación da recta intersección dos dous planos é
ecuación da recta s
e o seu vector director
vector director da recta s
7.  Perpendicular común a dúas rectas
Un dos métodos para obter unha recta perpendicular a dúas rectas, r e s, que se cruzan basease na cosntrucción dos dous planos seguintes:
Obtense o plano α que contén á recta r e é paralelo ao vector .
Obtense o plano β que contén á recta s e é paralelo ao vector .
A perpendicular común é a recta determinada por estes dous planos.

 		 Exemplo resolto.
Obter a perpendicular común as rectas
ecuación da recta recuación da recta s
» O plano α ten como vectore directores  vector dre produto vectorial de dr e ds, que normalizado queda vector normalizado perpendicular a dr e ds.
Entón o seu vector normal é
vector normal do plano alfa
 Ecuación  ecuación do plano alfa incompleta. Substituindo o punto A(1,0,-2) da recta r: -1+d=0, entón d=1.
ecuación do plano alfa
» O plano β que ten como vectore directores  vector dse produto vectoril de dr e dspolo que o seu vector normal será
vector normal do plano beta
 Ecuación  ecuación do plano beta incompleta. Substituindo o punto B(1,1,2) da recta s: 2+3+d=0, entón d=-5.
ecuación do plano beta
» A ecuación da recta esta determinada pola intersección dos dous planos:
ecuación da recta t
e o seu vector director
vector director da recta t
  Ir ao índice   Ir cara atrás  
 
           
  Andrés Piñón Fernández
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009
 
 

Licencia de Creative Commons
Os contidos desta unidade didáctica están baixo unha licenza de Creative Commons se non se indica o contrario.