HIPÉRBOLA 2
Bloque: Geometría
 

1. PRÁCTICA PRIMERA

Dados los puntos C(x0,y0) y P(x1,y1) y un número e (e>1), hallar la ecuación, vértices y focos de la hipérbola de centro C y eje focal paralelo al eje de abscisas, que pasa por P y tiene excentricidad e.

La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la hipérbola solución y halla los elementos pedidos. Para la resolución del problema consideraremos una hipérbola de la forma (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 (*) en la que hay que hallar a2 y b2 . Para ello haz que el punto P verifique (*), es decir, (x1-x0)2/a2-(y1-y0)2/b2=1 (**). A partir de la relación fundamental de la hipérbola  c2=a2+b2 y de la expresión de la excentricidad e=c/a, se obtiene la ecuación en a2 y b2, b2=a2(e2-1) (***). La resolución del sistema (**) y (***) nos permite finalmente obtener a2 y b2. Los vértices V y tienen de abscisa x0+a y x0-a y de ordenada y0. Los focos F y tienen de abscisa x0+c y x0-c y de ordenada y0.

Si asignas el valor 1 al control ayuda puedes observar las zonas de no existencia de solución. Dados el centro C(x0,y0) y la excentricidad e de la hipérbola, la región de color gris indica que el problema no tiene solución si el punto P pertenece a ella. Cuando P no pertenece a dicha zona gris, el problema tiene solución y ésta puede verse haciendo 0 el valor del control ayuda.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y utiliza ayuda para encontrar puntos P con solución y puntos P sin solución. 

1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores de la escena  x0=4, y0=2, x1=4+Ö32, y1=5.0, e=1.25.
 Para hacer x1=4+Ö 32 " 4 más raíz de 32" escribe 4+sqrt(32) en la casilla blanca del control numérico x1 y pulsa intro.

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=0, y0=0, x1=3Ö2, y1=4.0, e=5/3.

Haz x1=3Ö 2 " 3 por raíz de 2" escribiendo 3*sqrt(2) en la casilla blanca del control x1 y pulsa intro. Para hacer e=5/3  pon 5/3 en la casilla blanca de e y pulsa intro.

Haz 0.x=64 y 0.y=0 para centrar la hipérbola.


2. PRÁCTICA SEGUNDA

Dadas los puntos C(x0,y0) y P(x1,y1) y el número real k, hallar la ecuación, los focos y los vértices de la hipérbola de centro C(x0,y0) y eje focal coincidente con el eje de abscisas, que pasa por P y tiene a las rectas r: y-y0=k(x-x0) y r´: y-y0=-k(x-x0) por asíntotas.

La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la hipérbola solución y halla los elementos pedidos. Para la resolución del problema consideraremos una hipérbola de la forma (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 (*) en la que hay que hallar a2 y b2 . Para ello haz que el punto P verifique (*), es decir, (x1-x0)2/a2-(y1-y0)2/b2=1 (**). La relación entre la pendiente (k y -k) de las asíntotas y a y b es k2=b2/a2 (***). La resolución del sistema (**) y (***) nos permite finalmente obtener a2 y b2. Los vértices V y tienen de abscisa x0+a y x0-a y de ordenada y0. Los focos F y tienen de abscisa x0+c y x0-c y de ordenada y0.

Si asignas el valor 1 al control ayuda puedes observar las zonas de no existencia de solución. Dados el centro C(x0,y0) y la pendiente k, la región de color gris y gris claro indica que el problema no tiene solución si el punto P pertenece a ella. Cuando P no pertenece a dicha zona gris, el problema tiene solución y ésta puede verse haciendo 0 el valor del control ayuda.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y utiliza ayuda para encontrar puntos P con solución y puntos P sin solución. 

1.- Resuelve el problema analíticamente para los valores de la escena  x0=3, y0=1, x1=3+Ö32, y1=4.0, k=0.75.
 Para hacer x1=3+Ö 32 " 3 más raíz de 32" escribe 3+sqrt(32) en la casilla blanca del control numérico x1 y pulsa intro.

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=0, y0=0, x1=8, y1=4Ö3, k=1.

Haz y1=4Ö 3 " 4 por raíz de 3" escribiendo 4*sqrt(3) en la casilla blanca del control y1 y pulsa intro

Haz 0.x=64 y 0.y=0 para centrar la hipérbola.


3. PRÁCTICA TERCERA

De una hipérbola de centro C(x0,y0) y eje focal coincidente con el eje de abscisas se conoce el semieje real a (a>0) y el ángulo A que forman las asíntotas. Hallar la ecuación, los focos, los vértices y las asíntotas de dicha hipérbola.

La siguiente escena nos dibuja las hipérbolas solución y halla los elementos pedidos. Para la resolución del problema consideraremos hipérbolas de la forma (x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1  en las que hay que hallar b (a es un dato). Puesto que y-y0=b/a(x-x0) e y-y0=-b/a(x-x0) son las ecuaciones de las asíntotas, u=(a,b) y v=(a,-b) son vectores directores de ellas. Como el ángulo que forman las asíntotas es conocido (), los vectores directores verificarán cosA =|u·v|/|u|·|v|, es decir, cosA =|a2 -b2|/(a2 +b2). La resolución de esta ecuación nos da dos soluciones para b2

Los vértices V y tienen de abscisa x0+a y x0-a y de ordenada y0. Los focos F y tienen de abscisa x0+c y x0-c  y de ordenada y0, donde c verifica c2=a2+b2.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y observa el resultado. 

1) Resuelve el problema analíticamente para los valores iniciales de la escena (x0=3, y0=1, a=4, =60).
El botón inicio restaura los valores iniciales.

2) Resuelve el problema analíticamente para los valores de la escena  x0=3, y0=1, a=4 y =90. ¿Qué tipo de hipérbola se obtiene?.


       
           
  Javier de la Escosura Caballero
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2002
 
 

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