Función logística

 

Comenzaremos con un breve repaso  de la función exponencial ya que la función a estudiar está relacionada con ella.

                                                               expon.gif (135 bytes)

En el estudio de la función exponencial hay que tener en cuenta que la base a es siempre positiva y que hay dos tipos claramente diferenciados dependiendo de si   a > 1   ó      0 < a < 1.

  1. A la vista de la escena anterior (puedes mover el punto P a lo largo del eje de abscisas para ver cómo varía la ordenada) repasa las propiedades y la representación gráfica de las funciones exponenciales
  2. Resuelve en tu libreta:

En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 4% anual. Si empieza ganando 5 Millones, ¿cuánto ganará dentro de 3 años?, ¿cuánto tardará en duplicar su sueldo?

      3. Comprueba los resultados obtenidos utilizando la escena superior. 


La función exponencial es un modelo válido para crecimientos o decrecimientos continuos en los que las condiciones son  siempre  igualmente favorables: aumento del capital ingresado en un banco, desintegración de sustancias radioactivas...Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo según una curva exponencial  pero si no hay catástrofes, llegan a invadir su espacio vital y, debido a la limitación de alimentos, etc., su crecimiento se amortigua, no sobrepasando su población límite. Este tipo de aumento, amortiguado por un nivel de saturación se llama crecimiento logístico.

La función logística describe mucho mejor que la exponencial lo que realmente ocurre con las poblaciones de seres vivos.

En general, la función logística asociada a una exponencial es:

        FUNCIÓN EXPONENCIAL     expon.gif (135 bytes)       donde C  es la población inicial,   x   el tiempo

        FUNCION LOGÍSTICA     logist.gif (239 bytes)    donde L es la población límite,  K = ( L / C ) - 1

 

 

UN CASO REAL:

En una isla dejamos escapar 100 conejos, especie desconocida hasta entonces en esos parajes. Supongamos que las condiciones para que se reproduzcan son óptimas, por lo que se incrementan en un 10% mensual (hasta aquí sería un modelo exponencial típico).

Supongamos ahora que la isla tuviera un tamaño y unas condiciones tales que, a lo sumo pudieran vivir 1000 conejos . Este número sería nuestra población límite. En este caso la función que describe el crecimiento es la función logística asociada. Observa en la siguiente escena sus características.  L = 1000  y   K = 9.

 

 

En la siguiente tabla se observa el número de conejos que habría en la isla según cada modelo.

MES

LOGÍSTICA

EXPONENCIAL

DIFERENCIA

0

10

10

0

1

10,89108911

11

0,108910891

2

11,85112635

12,1

0,248873653

3

12,88355435

13,31

0,426445649

4

13,99164763

14,641

0,649352367

5

15,178441

16,1051

0,926659001

6

16,44665058

17,71561

1,268959417

7

17,79858848

19,487171

1,688582524

8

19,23607239

21,4358881

2,199815713

9

20,76033237

23,57947691

2,819144541

10

22,37191717

25,9374246

3,565507431

11

24,07060334

28,53116706

4,460563718

12

25,85531075

31,38428377

5,528973019

13

27,72402845

34,52271214

6,798683692

14

29,67375526

37,97498336

8,301228096

15

31,70045912

41,77248169

10,07202257

16

33,79905934

45,94972986

12,15067053

17

35,963435

50,54470285

14,58126785

18

38,18646215

55,59917313

17,41271099

19

40,46008101

61,15909045

20,69900944

20

42,77539323

67,27499949

24,49960626

21

45,12278758

74,00249944

28,87971187

22

47,49209081

81,40274939

33,91065858

23

49,87273923

89,54302433

39,6702851

24

52,25396479

98,49732676

46,24336197

Fíjate cómo durante los  primeros meses los números son casi idénticos: aún estaba lejos el nivel de saturación. Sin embargo, al aumentar el tiempo la diferencia es enorme y después los resultados obtenidos para cada modelo no tienen nada que ver.


Usa la siguiente escena para comparar el comportamiento de las gráficas de las funciones exponencial y logística a medida que varían los parámetros:

RESUELVE TÚ

Dejamos 1000 moscas en una isla en la que no había ninguna, en la que hay condiciones para que vivan, a lo sumo 600.000. Cada día el número de moscas aumenta el 2 %.

1- Expresa el crecimiento según el modelo exponencial, como si no hubiera limitación.

2- Expresa el crecimiento según el modelo logístico.

3- Haz una tabla para comparar el número de moscas que habría a los 10, 100, 150, 200, 250,  y 400 días según cada modelo

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Autor: Justino Arellano Domínguez

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001