En el estudio de la función exponencial hay que tener en cuenta que la base a es siempre positiva y que hay dos tipos claramente diferenciados dependiendo de si a > 1 ó 0 < a < 1.
En el contrato de trabajo de un empleado figura que su sueldo subirá un 4% anual. Si empieza ganando 5 Millones, ¿cuánto ganará dentro de 3 años?, ¿cuánto tardará en duplicar su sueldo?
3. Comprueba los resultados obtenidos utilizando la escena superior.
La función exponencial es un modelo válido para crecimientos o decrecimientos continuos en los que las condiciones son siempre igualmente favorables: aumento del capital ingresado en un banco, desintegración de sustancias radioactivas...Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo según una curva exponencial pero si no hay catástrofes, llegan a invadir su espacio vital y, debido a la limitación de alimentos, etc., su crecimiento se amortigua, no sobrepasando su población límite. Este tipo de aumento, amortiguado por un nivel de saturación se llama crecimiento logístico.
La función logística describe mucho mejor que la exponencial lo que realmente ocurre con las poblaciones de seres vivos.
En general, la función logística asociada a una exponencial es:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
donde C es la población inicial, x
el tiempo
FUNCION LOGÍSTICA
donde L es la población límite, K
= ( L / C ) - 1
UN CASO REAL:
En una isla dejamos escapar 100 conejos, especie desconocida hasta entonces en esos parajes. Supongamos que las condiciones para que se reproduzcan son óptimas, por lo que se incrementan en un 10% mensual (hasta aquí sería un modelo exponencial típico).
Supongamos ahora que la isla tuviera un tamaño y unas condiciones tales que, a lo sumo pudieran vivir 1000 conejos . Este número sería nuestra población límite. En este caso la función que describe el crecimiento es la función logística asociada. Observa en la siguiente escena sus características. L = 1000 y K = 9.
En la siguiente tabla se observa el número de conejos que habría en la isla según cada modelo.
MES |
LOGÍSTICA |
EXPONENCIAL |
DIFERENCIA |
0 |
10 |
10 |
0 |
1 |
10,89108911 |
11 |
0,108910891 |
2 |
11,85112635 |
12,1 |
0,248873653 |
3 |
12,88355435 |
13,31 |
0,426445649 |
4 |
13,99164763 |
14,641 |
0,649352367 |
5 |
15,178441 |
16,1051 |
0,926659001 |
6 |
16,44665058 |
17,71561 |
1,268959417 |
7 |
17,79858848 |
19,487171 |
1,688582524 |
8 |
19,23607239 |
21,4358881 |
2,199815713 |
9 |
20,76033237 |
23,57947691 |
2,819144541 |
10 |
22,37191717 |
25,9374246 |
3,565507431 |
11 |
24,07060334 |
28,53116706 |
4,460563718 |
12 |
25,85531075 |
31,38428377 |
5,528973019 |
13 |
27,72402845 |
34,52271214 |
6,798683692 |
14 |
29,67375526 |
37,97498336 |
8,301228096 |
15 |
31,70045912 |
41,77248169 |
10,07202257 |
16 |
33,79905934 |
45,94972986 |
12,15067053 |
17 |
35,963435 |
50,54470285 |
14,58126785 |
18 |
38,18646215 |
55,59917313 |
17,41271099 |
19 |
40,46008101 |
61,15909045 |
20,69900944 |
20 |
42,77539323 |
67,27499949 |
24,49960626 |
21 |
45,12278758 |
74,00249944 |
28,87971187 |
22 |
47,49209081 |
81,40274939 |
33,91065858 |
23 |
49,87273923 |
89,54302433 |
39,6702851 |
24 |
52,25396479 |
98,49732676 |
46,24336197 |
Fíjate cómo durante los primeros meses los números son casi idénticos: aún estaba lejos el nivel de saturación. Sin embargo, al aumentar el tiempo la diferencia es enorme y después los resultados obtenidos para cada modelo no tienen nada que ver.
Usa la siguiente escena para comparar el comportamiento de las gráficas de las funciones exponencial y logística a medida que varían los parámetros:
RESUELVE TÚ
Dejamos 1000 moscas en una isla en la que no había ninguna, en la que hay condiciones para que vivan, a lo sumo 600.000. Cada día el número de moscas aumenta el 2 %.
1- Expresa el crecimiento según el modelo exponencial, como si no hubiera limitación.
2- Expresa el crecimiento según el modelo logístico.
3- Haz una tabla para comparar el número de moscas que habría a los 10, 100, 150, 200, 250, y 400 días según cada modelo
Autor: Justino Arellano Domínguez
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | |