En las páginas anteriores nos hemos interesado por el comportamiento de una determinada función en las cercanías de un punto. En esta página y en las siguientes nos interesaremos por el comportamiento de la función cuando la variable independiente, x, se hace muy grande (tiende a más infinito) o muy pequeña (tiende a menos infinito).

En cada uno de esos casos hay cuatro posibilidades:

• f(x) se hace tan grande como se quiera (en cuyo caso diremos que su límite es más infinito)
• f(x) se hace tan pequeño como se quiera (en cuyo caso diremos que su límite es menos infinito)
• f(x) se aproxima a un determinado número real, b, (en cuyo caso diremos que su límite es b)
• f(x) no se aproxima a ningún valor concreto, ni crece ni decrece indefinidamente (en cuyo caso diremos que no tiene límite).

A continuación vamos a describir las distintas posibilidades de comportamiento de una función en el infinito, indicando la notación habitual en Matemáticas para referirse a ellas.

Los valores de la función f(x) se aproximan a un cierto número real, b, cuando la variable independiente tiende a más infinito (o a menos infinito).

Desplaza la x hacia la derecha (o hacia la izquierda) en la imagen siguiente, tanto como quieras (cambia los valores de O.x para poder visualizarlo correctamente) y comprueba cómo f(x) se aproxima a b (línea verde).

Expresaremos este hecho mediante las siguientes expresiones:

Y diremos que b es el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito (o a menos infinito, respectivamente). Diremos, además, que la recta y=b es una asíntota horizontal de la función y=f(x).

Los valores de la función f(x) crecen indefinidamente cuando la variable independiente tiende a más infinito (o a menos infinito).

Desplaza la x hacia la derecha (o hacia la izquierda) en la imagen siguiente, tanto como quieras (cambia los valores de O.x para poder visualizarlo correctamente) y comprueba cómo f(x) se hace tan grande como se quiera (línea verde). Desplaza hacia arriba la gráfica y cambia la escala si es preciso para visualizarlo mejor.

Expresaremos este hecho mediante la siguientes expresiones:

Y diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito (o menos infinito, respectivamente) es más infinito.

Los valores de la función f(x) decrecen indefinidamente cuando la variable independiente tiende a más infinito (o a menos infinito).

Desplaza la x hacia la derecha (o hacia la izquierda) en la imagen siguiente, tanto como quieras (cambia los valores de O.x para poder visualizarlo correctamente) y comprueba cómo f(x) se hace tan pequeña como se quiera (línea verde). Desplaza hacia abajo la gráfica y cambia la escala si es preciso para visualizarlo mejor.
¿Qué sucede cuando x=a?

Expresaremos este hecho mediante las siguientes expresiones:

Y diremos que el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito (o a menos infinito, respectivamente) es menos infinito.

Los valores de la función f(x) ni se acercan a ningún valor concreto ni crecen ni decrecen indefinidamente cuando la variable independiente tiende a más infinito (o a menos infinito).

Desplaza la x hacia la derecha (o hacia la izquierda) en la imagen siguiente, tanto como quieras (cambia los valores de O.x para poder visualizarlo correctamente) y comprueba cómo los valores de f(x) (línea verde) van oscilando sin acercarse a ningún valor concreto. Además, aunque pueden hacerse tan grandes o tan pequeños como se quiera cuando x tiende a menos infinito siempre pueden encontrarse valores de f(x) negativos a la izquierda de cualquier valor positivo y valores de f(x) positivos a la izquierda de cualquier valor negativo.

Expresaremos este hecho diciendo que la función f(x) no tiene límite ni en más infinito ni en menos infinito.

En los cuatro ejemplos anteriores el comportamiento de cada una de las funciones expuestas era similar tendiendo x a más infinito y a menos infinito. Sin embargo, en la realidad una función puede tener cualquiera de los cuatro comportamientos anteriores cuando x tiende a menos infinito y cualquiera de los otros cuando x tiende a más infinito.